都市経済学の例における微積分と無差別曲線

Jan Brueckner の論文「The Structure of Urban Equilibria」を読んでいます。

モノセントリックな都市モデルを使用しており、すべての消費者は都市の中心で収入$y$を獲得しています。彼らは中心からの距離で価格で$q$住宅を購入し、輸送費発生します。x t $p$$x$$tx$

消費者には効用関数があります：

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

ここで、$\phi=x,y,t,u$

予算の制約は次のとおりです。

$c = y - tx - pq$

正接条件は、次のことを意味します。

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

ここで、添え字1は、最初の引数などによる偏微分を示します。

次に、、とがどのように変化するかについて説明します。q x 、y 、t $p$$q$$x, y, t$$u$

場合は、我々は同じ無差別曲線上でご利用いただけます。、を見つけるのは比較的簡単です。∂ $\phi=x,y,t$ ∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

もし所得補償需要曲線の傾きであり、その後。∂ $\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

ここで、を変化させることができます。予算制約は、新しい無関心曲線を満たすために変動し、新しいと決定します。p $u$$p$$q$

が見つかります。ユーティリティ関数wrt uを完全に区別します。$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

、接線条件：$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

したがって、ます。$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

論文は次に引用する：

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

これをどのように導出するかわかりません。角括弧内の最初の用語は代入効果であり、2番目の用語は所得効果だと思います。

この最後の式を理解してくださいとその導出方法。$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$