同じ平均のない二次確率的支配

ましょうとGが同じ平均を持つ2つのディストリビューションであること。Fは、と言われ、二次確率的に支配（SOSD）Gなら ∫ U （X ）D F （X ）≥ ∫ U （X ）D G （X ） のすべて増加させるための凹状Uを（⋅ ）。$F$$G$$F$$G$

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ $u(\cdot)$

この上記の定義は、等価であると

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

とGが同じ平均値を持つという要件は実際には必要ないということです。FとGが同じ平均を持たないと仮定します。次に、（1 ）と（2 ）の間の等価性を維持できますか？$F$$G$$F$$G$$(1)$$(2)$

注意：同じ平均条件なしでを示すことができましたが、逆はできませんでした。$(2)\Rightarrow (1)$

$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

$F$$G$