CES:生産関数:置換の弾性


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CES生成関数のであることを証明する必要があります。σ=1/(1+ρ)

q=(lρ+kρ)1ρ

次の方程式を解く必要があることがわかりました:

σ=d(k/l)k/ldRTSRTS=d(k/l)dRTSRTSk/l=d(k/l)d((k/l)1ρ)(k/l)1ρk/l

しかし、この式をσ = 1 /1 + ρ に書き換える方法がわかりません。σ=1/(1+ρ)


Cobb Douglasプロダクションの例を確認し、CESで解決してみてください。en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution
無知

回答:


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生産関数である: ザMPLとMPKは、それぞれ次のとおり のQL=Q

q=(lρ+kρ)1ρ
、Q、K=Q
ql=ql=1ρ(lρ+kρ)1ρ1ρlρ1
lはKの代わりに使用することができるというレートは何ですか?
qk=qk=1ρ(lρ+kρ)1ρ1ρkρ1

単一変数の微分実数値関数であり、我々は(点xにおける)Xに対するFの弾性(X)を定義することが σ X = X F 'X f

σ(x)=xf(x)f(x)df(x)f(x)dxx
  1. x = e u)およびv = l n f x f x = e v)となるような変数の変更を行うu=ln(x)x=euv=ln(f(x))f(x)=ev
  2. なお、及びU ' = 1v=f(x)/f(x)なので、 vu=1x
    vu=f(x)f(x)1x=σ(x)
  3. これは、解いて得られる結果でもあることに注意してください。dlnf(x)dln(x)dlnf(x)dln(x)=dvdu
    dvdu=dvdxdxdu=f(x)f(x)x
    σ(x)

それでは、弾力性の問題に取り組みましょう。

ln(qkql)=log(1ρ(lρ+kρ)1ρ1ρlρ11ρ(lρ+kρ)1ρ1ρkρ1)=ln(lk)ρ1=(ρ1)ln(l/k)=(1ρ)ln(k/l)
ln(k/l)=11ρln(qkql)

σ=11ρ


1ρρ
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