ローゼンの対角線の厳密な凹面条件

戦略空間があり、が有界集合である人のプレーヤーと、プレーヤーのペイオフ関数ゲームを考えてみましょう。ローゼンの条件（JBローゼン。凹型n人ゲームの平衡点の存在と一意性。Econometrica、33（3）：520–534、1965）は、n人のゲームにおけるナッシュ均衡の一意性について、均衡は次の場合に一意になると述べています。 $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

ペイオフ関数は独自の戦略で凹型です $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
ベクトル（ that functionは対角線上で厳密に凹形 $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ はプレーヤーのセットを示します。

対角線の厳密な凹面の概念を定義するために、fist は次のように定義された関数「疑似勾配」を導入します：次に、関数はで対角線上で厳密に支配的であると言われています固定用すべてのためであれば以下が成り立ちます。 $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

冒頭に引用した論文では、が斜めに厳密な凹型になるための十分な条件は、行列について陰性defiteある、 pseudogradientのヤコビ行列でありに対して。'を使用して、行列の転置を示します。対角線の厳密な凹面条件の直感は何ですか？ $\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— ニジ
ソース

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— マルチプレクサ
ソース

ご回答有難うございます！あなたが書いたものは、本質的には元のローゼンの論文の結果の1つです。直観とは、ゲームの戦略的相互作用のどの特性が厳密な凹面条件によって取得されるかを意味しますか？たとえば、この条件は、他のプレイヤーのアクションがプレイヤーiのペイオフにどのように影響するか、またはプレイヤーiのアクションがゲームの他のプレイヤーのペイオフにどのように影響するかについて何か言いますか？質問が十分に明確でなかった場合は申し訳ありません。

— Nidjsi 2018年