準線形ユーティリティ：パレート最適性はユーティリティの最大化を意味しますか？

私がすべての消費者に準線形の効用がある場合、パレート最適配置はすべての消費者の効用レベルの合計を最大にします。あれは：

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

誰かがこれの証拠を提供できますか？どんな助けでも大歓迎です！

$\textbf{Edit:}\,$ これが正しいパスかどうかはわかりませんが、の厳密に増加するプロパティにより $\phi(\,)$ 、設定はローカルの満足度を満たします。つまり、最初の福祉定理を満たします。ここで、すべてのパレート最適配置が準線形効用の競合均衡であるかどうかを判断できれば、私は何かに取り組んでいる可能性があります。

microeconomics pareto-efficiency proof

— ドーナーA
ソース

あなたは確かということです下同じである下？予算/リソースの制約が不足しているようです。これで、（3）の不等式をで合計することにより、必要なものを取得できるはずです。

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Herr K.

@HerrK。それは私にとって素晴らしい点であり、かなり恥ずかしい失態です。私はそれを変えます

— DornerA

Xの関数にプロパティはありますか？たとえば、厳密に増加しているが凹型である場合、1人のエージェントが合計寄付金を受け取るPO割り当ては、2つのエージェント間でその割り当てを均等に分割するよりも少ない総効用をもたらすはずです。

— 123

@ 123 残念ながらは、上記のもの以外に想定されていません

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

回答:

編集：エッジケースは吸う。コメントを参照してください。MWG第10章のセクションC、Dも参照してください。

仮定解きます $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

パレート最適ではありません。

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

これは矛盾です。効用最大化問題の解決策がある場合、それはパレート最適でなければなりません。

（これは連続的で増加するプロパティから来ることに注意してください） $\phi(\cdot)$

が実行可能なパレート最適配置であると仮定しますが、解決しません $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

私たちが扱うのでニュメレールとし、厳密に私たちが知っている、増加しているローカル非飽き飽きしています。パレートの割り当ては、実行可能でなければなりません。 $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

これが当てはまる場合、この代替割り当ては、他のすべてが等しい場合に、より多く個人に与えるだけなので、代替割り当ては実行不可能です。したがって、矛盾があります。 $x$

これが当てはまる場合、代替の割り当てでは、他の誰かがより多くのを割り当てられ、他の1人だけがより少なく割り当てられているため、元の割り当てはパレート最適ではありません。そうだったとしましょう。元の割り当てを使用して、新しい割り当ての方法でをシフトした場合、少なくとも同じユーティリティレベルでを失っている人を維持するために、数値財での対応する取引が必要になります。しかし、数値の商品だけでの取引は、合計された総効用を変更することはできません。元の割り当てから、を交換できる場合 $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ そして、誰かを傷つけることなく誰かをより良いものにする、あなたはパレート最適ではなかった、そして誰かをより良いものにするためにとを交換することができないなら、あなたは元の割り当てが最大化問題の解。 $m$ $x$

このロジックは、複数の人の間でどのようにを再配置しても適用されます。 $x$

$\square$

— キツネ騎兵
ソース

OPがこの回答を受け入れたようですが、これは彼の実際の命題を証明していません。OPは、POの割り当てにより、与えられた最大化問題が解決されると主張しています。この証明は、最大化問題の解がPOであることを示しています。ただし、この結果は、効用関数が優先度がローカルの不満を満たすことを明らかにしているという事実からすぐに続きます。そして、我々は（ -申し訳ありません。ラテックスを使用するのは難しいので、携帯電話を使用して）ポイントオリジナルの命題は、Xの機能に設定された制限に応じて、おそらく偽で必ずしもCEとPOの間に全単射が存在しないことを知っている

— 123

標準的な純粋な交換経済環境では、この命題は真実ではないと思います。ここではカウンターの例です：economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— アミット

@アミット私はあなたが正しいと思います。ただし、このステートメントは、PO割り当てがすべてのコンシューマー：あるという条件が追加された場合にも当てはまるようです。あるいは、問題が負の値を許容する場合。この場合、反例はPOではありません。

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard 2017年

@KitsuneCavalryここに間違いがあります：「元の割り当てから、をとトレードして誰かを傷つけることなく誰かをより良くすることができるなら、あなたはパレート最適ではなかったし、をとトレードして作ることができないなら誰かの方が良い場合は、合計された集約ユーティリティを増やすことはできません...」または非負性制約に違反するため、取引を行うことができません。ブー、詐欺師！：D 50ポイントを返します：D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard 2017年

@denesp すべてのについて、を任意の実数にするか、厳密に正の実数にすることを許可した場合、結果が保持されることに同意します。

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Amit

質問が言及している標準的な純粋な交換経済では真実ではないと思います。次の反例を考えてみましょう。

$I = \{1,2\}$ およびおよび。 $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

そして、実行可能な割り当てのセットを

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ 。

割り当てはパレート効率的ですが、ユーティリティの合計を最大化しないことに注意してください。その理由は、割り当ての方が合計が高いためです。 $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ 。

— アミット
ソース

@DornerAこれに対するあなたの考えは？

— Giskard 2017年

私はあなたが次の結果を参照していると思います：どのPE割り当てでも最大化しますが、あなたが特定していないので正確に知ることは困難です実現可能性。 $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

もっと具体的にさせてください。各、。割り当てはです。実行可能な割り当てのセットは、。からのユーティリティはであり、ここでは厳密に増加しています。 $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

PEの割り当ての定義は標準である：あればPEあるようすべてのため及び一部の。 $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

今は場合と主張PE、次いでを解決する、または、製造しますの明示的な最大化、 st。 $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

ここでは主張を証明するつもりはありませんが、重要なアイデアはシンプルで、次のとおりです。がPEであるが、最大化問題を解決しないと仮定ます。次に、ような実行可能な別の見つけることができます。確かに、に比べてでは、エージェントの方が劣っていますが、お金使用して、と同等にして、そのままにすることができます。からのユーティリティの合計を増やしたので、いくらかお金が。 $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

これを別の言い方をすると、効用の合計は。これ無駄のない割り当ては、最初の項が同一になります。 $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

これについて考えるもう1つの方法は、がパイとお金のサイズを決定し、再配分を決定することです。準線形性により、を1単位減らし、を1単位増やすと、変更されません。これはおよびは当てはまりません。 $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

これは、最大化問題を解くがPEであることも意味します。 $a\in F$

— ヤン
ソース

他の2つの答えを読みましたか？基本的には同じことを述べています。もう1つは反例です。

— Giskard 2017年

@denespはい私は答えを読んで別のことを言っています。2つの答えはユーティリティの合計の最大化について話している、私はからの合計の最大化について話している。反例では、重要な仮定はです。もしのため、その後、私が言っているものを適用します。どの仮定が「標準」であるかは議論の余地があります。私はMWGに育てられました。

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

もう1つのコメント、Mas-Colell、Whinston、Greenの第10章、特にC部、さらにD部は、OPが尋ねる問題の優れた教科書です。

— Jan