ギャンブル業界の利益最大化のための一次条件

私はギャンブル業界での最適なペイアウト率のモデルに取り組んでいます。

$ 1チケットの名目価格は常に$ 1であるため、当選した賞品でQ = $ 1の効果的な価格戦略を使用します。ゲームは50％を支払う場合は、効果的な価格は$ことが予想勝つために費やされる必要があるものですから、2 $賞金1。とても簡単ですよね？

さて、私はいくつかの研究でこの脚注に出会ったが、彼らが最初の方程式から利益最大化の第一次条件にどのように到達したかを理解することはできない

「は運用コストを数量単位の関数として表します。1つの数量単位は賞品の期待値の1ドルとして定義されます。$C(Q)$

宝くじ機関の純利益は

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

ここで、は数量単位に対して請求される価格です。$P$

利益最大化のための1次条件を書くことができます

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

限界営業費用が売上の％で、ペイアウト率が％の場合、およびになります。これは、最大利益での需要の価格弾力性がであることを意味します。50 P = 2 C ′ = .12 − $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

利益を増やすためにペイアウト率を上げるには、が絶対値でを超えなければなりません。」$E_{PQ}$$2.3$

- [引用]クロットフェルター、チャールズT、フィリップJクック。「州の宝くじの経済学について。」Journal of Economic Perspectives：105-19。

FOC方程式では、は需要の実効価格弾力性です。これは通常、最初の方程式でに関しての導関数を取得することで見つかります。 P $-E_{PQ}$$P$$Q$

彼らはどうやって彼らがどこに行ったのですか？私が行方不明になっているものがなければなりません。

特定の1次条件がどのように到達したのか、それが純収益方程式の何らかの派生プロセスの結果であるのか、それとも単に外部条件が適用されているのかを理解するのに苦労しています。

ありがとう！

問題の表現は、参照記事の脚注にあります。論文を読むと、ここでの決定変数は「ペイアウト率」であり、これはPの逆数であることがわかります。したがって、同等に、P（およびwrt Q）に関する最大化問題を解くことができます。さらに、「需要の価格弾力性」には、Pに対するQの導関数が含まれますが、逆の関係はありません。$11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

そして、それはマイナスであると予想します（価格が高いほど、ペイアウトレートが低くなり、ここで数量メジャーの需要が少なくなります。つまり、「賞品の需要」が少なくなります）。

最大化問題をとして書くことができます

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

一次条件は

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

全体で乗算します。$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

意味あり。リファレンスに示されている値を差し込むと、

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

これは、著者が提示した式から得られる値に非常に近いものです。私が試みた代数的操作によって、それらの式を複製することはできませんでしたが、いずれにしてもeqは正しいです。和解が生じた場合、更新します。$(2)$