AERにおけるBarro（2009）のまれな災害モデル：式（10）を導き出す方法は？

Barro（2009）では、まれな災害、資産価格、および福利厚生で、 BarroはEpstein-Zinの設定を使用したLucasツリーモデルを開発しています。

私の質問は、論文の方程式に関するものです（10）。この方程式では、バロは、最適解の効用の下で、 $U_t$ はべき乗に消費される比例すると述べています。ここで、は相対リスク回避係数、 $C_t$ $1-\gamma$ $\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

私はこの結果のロジックを理解していますが、彼が言及された論文の脚注7に示されている定数を導き出す方法を理解していません。 $\Phi$

Alberto GiovanniniとPhilippe Weil（1989年、付録）は、方程式（9）の効用関数により、達成された効用は、累乗比例する富になることを示しています。は場合の富に対する一定の比率として最適に選択されるため、式（10）の形式が続きます。の式は、場合、 $U_t$ $1-\gamma$ $C_t$ $\Phi$ $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$
$Φ = (\frac{1}{1 - γ}) {ρ + (θ - 1) g^{*} - (1 / 2) γ (θ - 1) σ^{2} - (\frac{θ - 1}{γ - 1}) p [E (1 - b)^{1 - γ} - 1 - (γ - 1) E b]}^{(γ - 1) / (1 - θ)}$ $\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$

バロは、1989年のジョバニーニとワイルのNBER論文を引用しています。この論文では、定数を導き出すことができます。ただし、を含む式になるため、Barroのバージョンとは完全に異なります。ここで、は資本利益率です。Barroはを平衡解に置き換えたと思います。ただし、彼の式にはログやexp式は含まれません。 $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$ $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$

解決策または解決策へのヒントに感謝します。

macroeconomics finance academic-graduate

— drcms02
ソース

これは素晴らしいですね！がんばってくれてありがとう。回答のパート2と3を確認するには数日かかりますが、非常に直感的に見えます。

— drcms02

Iはジョバンニとワイルは、同じ式、見つけることが脚注にバロの手段を考える $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ 、しかしの最適経路使用 $C_t$ 。Barroの論文では、のダイナミクス $C_t$ が外因性であると仮定すると、アプローチは異なります。仮定により、 $C_t=Y_t$ です。

期間の長さが0に近づくと、Barroは制限ケースを使用します。たぶん、読者が気になるのは、モデルが離散として定義されていることです。

モデルを書き換える

最初に、期間長さでモデルを書き換えてから、 $\delta$ 使用できます $\delta\to 0$ 。GDPダイナミクス書き込みと、及び

\log (Y_{t + δ}) = \log (Y_{t}) + g δ + u_{t + δ} + v_{t + δ}

$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$

u_{t + δ} \sim N (0, δ σ^{2})

$u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$

v_{t + δ} = 0

$v_{t+\delta}=0$ 確率

及び

の確率と

。ユーティリティは

満たします

1 - p δ

$1-p\delta$

\log (1 - b)

$\log(1-b)$

p δ

$p\delta$

U_{t} = \frac{1}{1 - γ} {C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} {[(1 - γ) E_{t} U_{t + δ}]}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}}^{\frac{1 - γ}{1 - θ}} .

$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$

1）関数としてを見つける $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

これからあると仮定ように（そのノート依存する先験的に）。定義 $\Phi$ $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $\Phi$ $\delta$ 、ユーティリティ満たす $H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ 我々は、置換：

\begin{aligned} H (U_{t}) = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (E_{t} U_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$

U_{t}

$U_t$

したがって、我々はのために取得

、

\begin{aligned} H (Φ) C_{t}^{1 - θ} = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (Φ) {(E_{t} [C_{t + δ}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

C_{t} \neq 0

$C_t\neq 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {(E_{t} [{(\frac{C_{t + δ}}{C_{t}})}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

2）を見つける $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

\begin{aligned} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

u_{t + 1}

$u_{t+1}$

v_{t + 1}

$v_{t+1}$

である

。

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . E_{t} \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . E_{t} \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

\exp (X)

$\exp(X)$

X

$X$

N (0, σ^{2})

$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\exp (σ^{2} / 2)

$\exp(\sigma^2/2)$

\exp ((1 - γ) v_{t + δ})

$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$

1

$1$

1 - p δ

$1-p\delta$

(1 - b)^{1 - γ}

$(1-b)^{1-\gamma}$

p δ

$p\delta$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ)^{2} σ^{2} δ}{2}) . (1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

C_{t} = Y_{t}

$C_t=Y_t$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {\exp ((1 - θ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . {(1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ)}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$

3）近似取る $\delta\to 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - (1 - ρ δ) . (1 + (1 - θ) g δ) . (1 + \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . (1 - \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

δ^{i}

$\delta^i$

i > 1

$i>1$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

g

$g$

g^{*} = g + \frac{σ^{2}}{2} - p E b

$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g^{*} δ + (1 - θ) \frac{σ^{2}}{2} δ - (1 - θ) p E b δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

δ = 1

$\delta=1$

H

$H$

— ギウィル
ソース

AERにおけるBarro（2009）のまれな災害モデル：式（10）を導き出す方法は？

モデルを書き換える

1）E t [ （C t + δの関数としてを見つけるΦΦ\PhiEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

2）を見つけるEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

3）近似取るδ→0δ→0\delta\to 0

1）関数としてを見つける $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

2）を見つける $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

3）近似取る $\delta\to 0$