AERにおけるBarro(2009)のまれな災害モデル:式(10)を導き出す方法は?


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Barro(2009)では、まれな災害、資産価格、および福利厚生で、 BarroはEpstein-Zinの設定を使用したLucasツリーモデルを開発しています。

私の質問は、論文の方程式に関するものです(10)。この方程式では、バロは、最適解の効用の下で、Ut1 - γのべき乗に消費される比例すると述べています。ここで、は相対リスク回避係数、Ct1γγ

Ut=ΦCt1γ

私はこの結果のロジックを理解していますが、彼が言及された論文の脚注7に示されている定数を導き出す方法を理解していません。Φ

Alberto GiovanniniとPhilippe Weil(1989年、付録)は、方程式(9)の効用関数により、達成された効用は、累乗比例する富になることを示しています。は場合の富に対する一定の比率として最適に選択されるため、式(10)の形式が続きます。の式は、 場合、Ut1γCtΦγ1 θ1

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

バロは、1989年のジョバニーニとワイルのNBER論文を引用しています。この論文では、定数を導き出すことができます。ただし、を含む式になるため、Barroのバージョンとは完全に異なります。ここで、は資本利益率です。Barroはを平衡解に 置き換えたと思います。ただし、彼の式にはログやexp式は含まれません。R T E [ R 1 - γ T ] R TE[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

解決策または解決策へのヒントに感謝します。


これは素晴らしいですね!がんばってくれてありがとう。回答のパート2と3を確認するには数日かかりますが、非常に直感的に見えます。
drcms02

回答:


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Iはジョバンニとワイルは、同じ式、見つけることが脚注にバロの手段を考えるUt=ΦC1γ、しかしの最適経路使用Ct。Barroの論文では、のダイナミクスCtが外因性であると仮定すると、アプローチは異なります。仮定により、Ct=Ytです。

期間の長さが0に近づくと、Barroは制限ケースを使用します。たぶん、読者が気になるのは、モデルが離散として定義されていることです。

モデルを書き換える

最初に、期間長さでモデルを書き換えてから、δ使用できますδ0。GDPダイナミクス書き込み U T + δN0 δ σ 2、及びV T + δ = 0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2)vt+δ=0確率及びログ1 - B の確率とのp δ。ユーティリティはU t = 1を満たします 1pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1)E t [ C t + δの関数としてを見つけるΦEt[(Ct+δCt)1γ]

これからあると仮定ようにUをT = Φ C 1 - γ(そのノートΦが依存するδ先験的に)。定義H U = [ 1 - γ U ] 1 - θΦUt=ΦC1γΦδ、ユーティリティ満たす H U T= C 1 - θ T + 1H(U)=[(1γ)U]1θ1γ 我々は、置換UのTHΦC 1 - θ T =C 1 - θ T +1を

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut したがって、我々はのために取得CのT01
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

2)を見つけるEt[(Ct+δCt)1γ]

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
ut+1vt+10σ2であるEXPσ2/2exp
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
exp(X)XN(0,σ2)exp(σ2/2)exp((1γ)vt+δ)11pδ(1b)1γpδ
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ).
Ct=YtΦ
1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

3)近似取るδ0

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
δii>1
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
gg=g+σ22pEb
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
δ=1H
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