NPの適切なPCPは、多項式階層全体の適切なPCPを提供しますか？

PCPの定理は、NPのすべての決定問題には確率的にチェック可能な証明がある（または同等に、一定のクエリの複雑さと対数的にランダムなビットを使用するNPの定理の完全かつ準健全な証明システムが存在する）と述べています。

PCPの定理を取り巻く「民俗の知恵」（PCPの近似理論に対する重要性は一瞬無視）は、厳密な数学的言語で記述された証明を、全体を読む必要なしに、任意の精度で効率的にチェックできることを意味します。証明（またはほとんどすべての証明）。

私はこれを完全に見ることができません。数量詞を無制限に使用する命題論理の2次拡張を検討してください（私はすでにZFCよりも弱いと言われていますが、私は論理学者ではありません）。NPにアクセスできない定理を、量指定子を交互に使用することで表現することができます。

私の質問は、NPの定理のPCPがどのレベルのPHにも等しく適用できるように、高次の命題ステートメントで数量詞を「アンロール」する簡単な既知の方法があるかどうかです。これは実行できない可能性があります。つまり、量指定子を展開すると、最悪の場合、証明システムの健全性または正確性の一定の部分が失われます。

ステートメントの真実は、証明システムに（短い）証明があることとは異なります。言語は表現力がありますが、それは言語のすべての有効なステートメントがシステムで短い証明を持っていることを意味しません。

この定理は、ステートメントの真実、または任意の長い証明または任意の定理の正しささえチェックできるとは言いません。これはセットのメンバーシップの証明であり、定義によりメンバーシップの多項式サイズ証明（証明書）があります。定理は、その正確さを判断するためにセットのメンバーシップの完全な（多項式サイズの）証明を読み取る必要がないことだけを述べています。N $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

この定理の1つの意味は、効率的な証明システムで短い（つまり、任意の多項式）証明を持つ任意の言語の定理のセットにそれを適用することです（つまり、与えられた文字列が与えられた証明である場合、多項式時間で決定可能です）ステートメント）。例えば、サイズの証明有するZFCの定理ここで、式のサイズです。証明システムが健全である場合、短い証明を持つ定理の正当性をその証明の小さな部分を読み取ることで確率的に検証できます。これが非公式な声明の意図する意味だと思います。「厳密な数学言語で書かれた証明は、証明全体を読む必要なしに、任意の精度で効率的にチェックできます」。$n^{100}$$n$

はっきりさせてみましょう。

次の計算上の問題を考えてみましょう：（お気に入りの公理システムでの）数学的ステートメントと単項表現で与えられた数値nが与えられたら、そのステートメントがサイズnの証明を持つかどうかを決定します。

これはNP問題です。証明が与えられると、それがサイズnであり、定理の有効な証明であることを効率的に検証できます。 注：ステートメントにFOR ALLのような数量詞が含まれている場合でも、ベリファイアがすべての可能性をチェックする必要があるという意味ではなく、ベリファイアがFOR ALL数量詞を含む推論ルールを使用することを意味します。

したがって、PCP定理はこの問題に適用されるため、確率論的検証を可能にする（異なる）証明形式があります。

（Peterの発言に関する）もう1つの注意：PCP検証では、対数ランダム性のみが使用されます。これは、証明全体を確認する標準的で確定的な検証器に置き換えることができることを意味します。つまり、言語のPCPベリファイアがあると、その言語はNPになります。