周波数モーメントの近似の限界

ましょう1、2、... 、mはそれぞれ整数のシーケンスであるJ ∈ { 1 、2 、... 、N }。以下のためのI ∈ { 1 、2 、... 、N }、聞かせて、M iは = | { j ：a j = i } | 。K個の周波数モーメント番目はと定義されます$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

彼らのよく知られた論文、周波数モーメントを近似する空間の複雑さ、Alon et al。おおよそO （n 1 − 1を使用してを近似するストリーミングアルゴリズムを与える$F_k$スペース。また、通信の複雑さの手法を使用して、Ω（n1−$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$のためのk>5。以下のために、K=0、1、2、それらは多かれ少なかれ一致する上限および下限を提供します。$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

そこにそれ以来、これらの境界に改善され、そしてために進歩があったている？$k = 3,4,5$

かなりの進歩がありました。特定の問題では、k > 2に対してn 1 − 2 / kの上限と下限が一致します。上限は、IndykとWoodruff（STOC 2005に登場）によるこの論文から来ており、下限は、Bar-YossefらとChakrabartiらによる情報複雑性フレームワークを介しています。$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

k <= 2の場合

$O(1/\epsilon^2+log(n))$

$\tilde{O}(log(log(n))$

3）k = 2、私は彼らの論文からのAMSスケッチが最適だと思う

関連するもの。

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$