MAX 3SATのスーパー多項式時間近似アルゴリズム

PCPの定理は、ない限り、MAX 3SATが充足可能な3SAT式の7/8句を満たす割り当てを見つける多項式時間アルゴリズムがないことを示しています。P = N $7/8+ \epsilon$$P = NP$

節を満たす自明な多項式時間アルゴリズムがあります。それで、スーパー多項式アルゴリズムを許可すれば、よりもうまくできますか？準多項式時間アルゴリズム（）または部分指数時間アルゴリズム（）でどのような近似比を達成できますか？このようなアルゴリズムへの参照を探しています。7 / 8 + ε N O （ログN ） 2 O （N $7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

一つは得ることができで実行されることMAX3SATの近似をあまりにも面倒なしに時間。これがアイデアです。変数のセットをそれぞれ変数のグループに分割します。各グループについて、すべての方法を試して、グループ内の変数を割り当てます。縮約式ごとに、KarloffおよびZwick近似を実行します。これらすべての試行のうち、句の最大数を満たす割り当てを出力します。2 O （ε N ） O （1 / ε ）ε N 2 ε N 7 /$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

ポイントは、（そのブロックに限定された）最適な割り当てが、満たされた節の最大数の -fractionをすでに満たすような可変ブロックがあることです。これらの余分な句を正確に取得し、KarloffとZwickを使用して最適な残りの部分のを取得します。7 /$\varepsilon$$7/8$

同じタイプの近似に対して時間を取得できるかどうかは興味深い質問です。3SATを多項式時間でMAX3SATに減らすことができる「線形PCP予想」があります。$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• 3SATインスタンスが充足可能であれば、MAX3SATインスタンスは完全に充足可能です。
• 3SATインスタンスが満足できない場合、MAX3SATインスタンスは7/8満足できません。$7/8+\varepsilon$
• 縮小により、式のサイズは係数だけ増加します。$poly(1/\varepsilon)$

この線形PCP予想を仮定すると、すべてのおよびに対する -time 7/8近似は、3SATが時間であることを意味します。すべての。（ここでは節の数です。）証明は、インパリアッツォ、パトゥーリ、およびゼーンのスパース化補題を使用します。$2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

ライアン・ウィリアムズが彼の最後の段落で書いたことを幾分言い直すために：

が関数であることMoshkovitz-ラズ定理が示すこのような最大3SATができる場合、その -時間で近似すると、3Satの決定バージョンは時間ます。後者は不可能であると一般に考えられています（これは指数時間仮説です）。その場合、前者も不可能です。正確に言えば、指数関数的な時間を超えてMax-3Satでを超えることはできません。（7 / 8 + 1 /（ログログN ）0.000001）T （N ）2 O （N ） 7 /$T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$$7/8$