最短経路の公理

無向の重み付きグラフ（非負の重み付き）があるとします。すべての最短パスが一意であると仮定します。これらの\ binom {n} {2}パス（重みのないエッジのシーケンス）があるが、G自体は知らないとします。これらのパスを多項式時間で最短にしたGを生成できますか？より弱いバージョン：そのようなGが存在する場合、多項式時間で決定できますか？G （$G = (V, E, w)$$G$$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

明らかに必要な条件は次のとおりです。パスのすべてのペアに対して、その交差点もパスです。この状態で十分ですか？

明るい検索を行っているときにこの古い質問に出くわしましたが、最近、この論文で答えを見つけたことがあります。スレッドのネクロマンシーと自己宣伝の組み合わせが許されることを願っています。

これらのパスを多項式時間で最短にしたGを生成できますか？より弱いバージョン：そのようなGが存在する場合、多項式時間で決定できますか？

答えは両方ともイエスです。Mohammadのアルゴリズムは間違いなく機能しますが、キュービック分離オラクルを実行する必要を回避する、より高速で直接的な方法があります。LET各エッジの重み補助無向重み付きグラフである何を示す整数であり、入力そのエッジを含んで撮影経路。ここで、ノードの各ペア間で1単位のフローを同時にプッシュすることが目標である、上のエッジ制約付きマルチコモディティフローインスタンス（エッジの重みをキャパシティとして解釈）について考えます。明らかに、このMCフローインスタンスは、入力で指定されたパスに沿って自然な方法でフローをプッシュすることで満たすことができます。結局のところ、私たちの証明することができE ∈ E （$H = (V, E, w')$$e \in E$ H（$n \choose 2$$H$ G$n \choose 2$これは、MCフローインスタンスを満たす唯一の方法である場合にのみ、で一意の最短パスです。MCフローの実行可能性の通常の制約に特定の慎重に選択された目的関数を加えたLPを設定することにより、一意性をテストできます。また、満足なエッジウェイトをこのLPの双対から抽出できます。$G$$G$

明らかに必要な条件は次のとおりです。パスのすべてのペアに対して、その交差点もパスです。この状態で十分ですか？

この状態は、「一貫性」と呼ばれることもあります（2つの交差点がそれぞれのサブパスである場合、パスのセットは一貫しています）。上記から、一貫性が十分でないことがわかります。2つの最小の反例の1つは、6つのノード上の4つのパスの次の色分けされたシステムです。

つまり、ここに示されている8つのエッジに重みを割り当てる方法はないため、これら4つのパスはすべて、同時にエンドポイント間の一意の最短パスになります。ただし、それらのペアはいずれも1つのノードで交差するため、一貫性があります（適切な方法でいくつかの追加パスを入力して、合計でを）。このような反例は無限にあります。特性については論文をご覧ください。$n \choose 2$

これに関する3つの簡単なコメント：

1. あなたが望むすべての類似の文は、無向グラフではなく有向グラフの設定でうまく保持され、
2. この理論には、ユニークな最短経路をどのように構築できるかについての洞察と直感をさらに導くトポロジー的な解釈があります。
3. いくつかの技術的な理由から、理論は、無向グラフまたは（周期的）有向グラフではなく、DAGの設定において便利に単純化します。

問題をLPとして書くことはできますか？任意の2つの頂点u、v、およびuからvへのパスPの場合、Pの重みはuとvの間の指定された最短パスの重み以上です。これらはすべて線形不等式であり、指数関数的に多く、分離問題はPにあります（これは、すべてのペアの最短経路問題です）。そのため、楕円アルゴリズムを使用して解決できます。