ポイント間の距離のみが与えられた構造の最小寸法を決定する最良の方法

コンピューターサイエンスからはかなりかけ離れた物理学の分野でこの問題に遭遇しましたが、CSで研究されてきたタイプの質問のように思えます。

一連のポイント$\{v_i\}_{i=1}^n$と、ポイント間の距離の一部のリストが与えられたとします$d_{ij}$。これらの点を埋め込む必要がある空間の最小次元を決定する最も効率的な方法は何ですか？言い換えれば、距離制約d i jを満たすR kに点のセットが存在するような最小は何ですか。に対する答えも同様にうれしいですが、これは難しいようです。$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

実数での計算の問題を回避するために、距離が一定の精度内でのみに一致し、一定の間隔の格子上の点に制限される必要があることを嬉しく思います。$d_{ij}$$\epsilon$

実際、とが与えられると、このような頂点のセットかどうかを尋ねられる、この問題の決定版の解決策に非常に満足しています$d_{ij}$$k$存在するます。点の集合を所与ため自明の問題は、NPにある Rの K彼らが距離要件を満たすことを確認することは容易であるが、この特定の問題のためのサブ指数時間アルゴリズムが存在すべきであるように感じます。$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

最も明らかなアプローチは、ポイントを1つずつ追加し、各反復で新しい空間ディメンションを追加する必要があるかどうかを判断することにより、次元構造を繰り返し構築しようとすることです。これに伴う問題は、既存の構造にポイントを追加する方法が複数あるというあいまいさが発生する可能性があることであり、ポイントを追加し続けるとどれがより少ない次元につながるかは明確ではありません。$k$

最後に、任意の数の次元で満たす​​ことができない距離のリスト（つまり、三角形の不等式に違反する距離）を作成するのは簡単だと思います。しかし、私が気にしているインスタンスでは、満足できるポイントのセットを見つけることができる最小の有限数の次元が常にあります。

この問題は、低次元ユークリッド距離行列の完成または重み付きグラフの低次元ユークリッド埋め込みと呼ばれることもあります。

Saxe [Sax79]およびYemini [Yem79]は、Partition問題からの単純な縮約により、この問題が1次元の場合でもNP完全であることを独立して示しました。つまり、次の問題はk = 1の場合NP完全です。

kの次元ユークリッド距離行列完了/ K -dimentionalユークリッド重み付きグラフの埋め込み
インスタンス：対称行列 M「不明」とは、そのエントリのいずれかのバイナリ又はにおける正の整数を
質問：未知のエントリができ Mはそう実数によって充填されその Mが中点の距離マトリックスとなる K次元ユークリッド空間ℝの ^K？
同等に、
インスタンス：各エッジがバイナリで書かれた正の整数の重みを持つグラフ G。
質問：の頂点できます Gが中に置かkの次元のユークリッド空間ℝの^Kの各エッジに対してようG、2つのエンドポイント間の距離は、エッジの重みに等しいですか？

さらに、Saxe [Sax79]は、（3SATからのより複雑な削減によって）Mのすべての既知のエントリがすべての正の整数定数に対して1または2 であるという制限の下でも、k次元ユークリッド距離行列の完成がNP困難のままであることを示しましたk。特に、Mの既知のエントリが単項で与えられた場合でも、問題はNP完全です。[Sax79]には、おおよその埋め込みに関する硬度結果も含まれています。

ところで、問題がNPにあるのは些細なことではないと思います。k > 1の場合、場合によっては非合理的な座標が必要になることに注意してください。NPであることがわかっているかどうかはわかりません。

参照資料

[Sax79] James B. Saxe。k空間での重み付きグラフの埋め込み性は、NP困難です。ではコミュニケーション、コントロール、およびコンピューティング第17回アラートン会議の議事録：ジェームズ・B.サックスではまた、頁480から489まで、1979年グラフ埋め込み問題に関する2つの論文、コンピュータサイエンス学部、カーネギーメロン大学、1980。

[Yem79] Yechiam Yemini。位置特定問題のいくつかの理論的側面。第20回コンピューター科学の基礎に関する年次シンポジウム（FOCS）、pp。1–8、1979年10月。DOI：10.1109 / SFCS.1979.39

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