平面グラフ上で共通のソースを持つ最小-最大の頂点の素なパスを見つける

平面非加重グラフ、および頂点のペアのコレクション与えられた（K ≥ 2は、見つける定数）Kからのパス（ソースを除く）頂点互いに素をSとT i最長経路の長さが最小になるようにします。$(s,t_1),\dots,(s,t_k)$$k\ge2$$k$$s$$t_i$

質問：問題の多項式時間アルゴリズムはありますか？

関連する結果：

• 場合固定されていない問題はNP困難であっても、T 1 = ⋯ = T K。$k$$t_1=\dots=t_k$
• 入力グラフが重み付けされ、パスのソースが一致しない場合、つまりパスがある場合、問題はk = 2の場合でもNP困難です。$(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$$k=2$

• 異なる目的、つまり経路長の合計を最小化する問題は、

  • ソースを一致させるための最小コストフローアルゴリズムで解決可能。
  • 一致しないソースと一般的な NP-hard ;$k$
  • 一致しないソースと定数開かれています。$k$

これは正確にはあなたが求めたものではありませんが、kが定数ではなく入力の一部である場合、問題はNP完全です。

これは言うホルストDERとピナ[HP02]デバンで定理1の証明から次の平面グラフ所与G、別個の頂点SとTにG、及び正の整数KおよびBは、決定することがNP完全ですあるかどうかのkペアワイズ内部頂点互いに素な経路の間S及びtは最大で長さのそれぞれを、B。

定理1のステートメントの問題は、2つの点であなたの問題とは異なることに注意してください。1つの違いは、前述したように、kが入力の一部として与えられることです。もう1つは、[HP02]の問題が、共通のソースと異なるシンクを持つパスではなく、共通のエンドポイントを持つパスに関することです。最初の違いを修正する方法がわかりません。差が非常に大きいため、kを修正するために完全に異なる証明が必要になる可能性があります。しかし、私は少なくとも2番目の違いを修正する方法を知っています。

[HP02]の定理1の証明は、3SATからの削減を示します。この縮約には次の特性があります。縮約によって構築されたインスタンス（G、s、t、k、b）では、頂点の次数tは常にkに等しくなります。してみましょうtは₁、...、T _Kなるk個の隣人トン。次に、sとtの間にそれぞれペアの長さkの頂点分離パスがあるかどうかを尋ねるのではなく、それぞれ最大b、各P _iがsとt _iの間の長さの最大でb -1のパスになるように、ペアワイズの頂点の切り離し-ソース以外のパスP ₁、…、P _kがあるかどうかを等しく尋ねることができます。

[HP02] H.ファンデルホルストとJCデピナ。平面グラフにおける長さ制限のばらばらのパス。 離散応用数学、120（1-3）：251-261、2002年8月 http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3