近似比の階層定理？

よく知られているように、NP困難最適化問題には、PTASの使用から任意の因子内での近似不能までのさまざまな近似比があります。中間には、 $O(\log n)$ 、 $poly(n)$ などのさまざまな定数があり。

可能な比率のセットについて何がわかっていますか？何らかの「近似階層」を証明できますか？正式には、どのような機能のためにと、我々は近似率に問題が存在することを証明することができる？ $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

その場合、、正確に近似率に問題が存在しませんか？ $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— ジェレミー・ハーウィッツ
ソース

このような定理の証明は、wisdom.weizmann.ac.il /〜oded / p_testHT.htmlに似ている可能性があります。既知の近似限界

持つ問題を考えると、おそらく何らかの形のパディングを使用して、近似限界

問題を得るために、何らかの方法で問題を「より簡単」にします。

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— ジェレミーハーウィッツ

および

は定数ではありません。

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

— タイソンウィリアムズ

@TysonWilliams：私は等のログ、彼はPTASと無近似の間に定数があることを意味だと思うとポリ（N）

— スレシュヴェンカト

fを最小化するための

近似が

である自明な変換を除外する必要はありませんか

α

$\alpha$

最小化するための

近似

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

？

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— スレシュヴェンカト

α= O（1）についての最後の質問については、ビンパッキング、マシンスケジューリング（iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html）などの多くの問題に対して厳しい限界が示されています

— Gopi

回答:

：近似階層、メイン既知の例がありますFPTAS EPTAS PTAS APX。しかし、近似できないためにNPO-PBもあります。 $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

このような結果から、可能な比率のセットについて多くの結果があります。

EPTASない限りFPTAS、、 $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

APX / NPO-PB-hard問題を定義します。

いくつかの参照：

PTASについて：M. CesatiおよびL. Trevisan。多項式時間近似スキームの効率について、1997年。
NPOPBについて：V. Kann。一部のNPO PB完全最大化問題の近似可能性に関する強力な下限

しかし、ウィキペディアを含め、これらの例に関するより多くの情報と参照があるため、Complexity Zooを確認することをお勧めします

さらに、コメントで述べたように、場合の厳密な限界は、ビンパッキング、マシンスケジューリングなどの多くの問題に対して示されました（iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.htmlを参照）。 $\alpha=O(1)$

— ゴピ
ソース

質問の下のSureshのコメントは、どんな比率でも可能であることを示すのに十分だとまだ思います。納得できない場合は、たとえば、ブール制約充足問題（CSP）をご覧ください。

背景：レッツアリティの述語である。マックス-CSP（P）のインスタンスは、上でブール変数。リテラルは、変数またはその否定です。インスタンスは、から成る形式のそれぞれ、制約 $P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ いくつかのリテラルであり、目標は、制約の一部を最大化する変数の割り当てを見つけることです。たとえば、我々は。定義の留分としてを満たすことが可能な入力のため（それに等しい $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ ます。任意のMax-CSP（P）を係数近似することは簡単です $\rho(P)$ 変数です（変数にランダムな値を割り当てます（そして、条件付き期待の方法を使用してderandimizeします）。ここで、近似比は1以下の正の実数であるという規則があることに注意してください。因子よりもMax-CSP（P）を解くことがNP困難な場合、述部は近似抵抗（AR）です。（すなわち、任意の固定のための）。 $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin and JohanHåstad、ランダムにサポートされた独立性と抵抗、SIAM Journal on Computing、vol。40、いいえ。1、pp。1-27、2011。

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ for which there is an AR predicate with $\rho(P) = \alpha'$ (since it is always possible to add dummy variables and constraints of them that are trivially satisfiable so as to increase the approximation threshold).

— MCH
ソース