自分自身に還元されるラムダ計算

ラムダ計算を学習しようとする私の継続的な探求において、Hindley＆Seldinの「Lambda-Calculus and Combinators an Introduction」では、次の論文（Bruce Lercherによる）が言及されています。である：。$(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$

私は結果を信じていますが、私は議論にまったく従いません。

非常に短い（1段落未満）。どんな説明でも大歓迎です。

おかげで、

チャーリー

まず、なお、左側に右側が等しい場合にのみベータ可約式（モジュロアルファ変換）であること結果状態。コンテキスト内でこのredexを使用する他の用語があります。$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$

ラーチャーの証明の大部分がどのように機能するかを見ることができますが、証明をわずかに修正しないと通過できない点があります。仮定する（I、使用=アルファ同値の場合）、変数慣例通りと仮定Xがで遊離発生していないB。$(\lambda x. A) B = [B/x] A$$=$$x$$B$

左側と右側のの数を数えます。還元は、可約式から1、プラスのもの除去Bを、およびであるような多くのように追加のB倍の出現回数XでA。換言すれば、L （Mは）の数であるλでのM及び＃X（Mする）の自由出現数であるXにおいてM、その後1 + L （B ）= ＃X$\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$$\#_x(M)$$x$$M$。そのディオファントス方程式の唯一の解決策は、＃x（A ）= 2（および L （B ）= 1ですが、その事実は使用しません）です。$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

上記のパラグラフに対するラーチャーの議論は理解できません。彼はとアトミック項の数を数えます。この＃（M ）を書きましょう。式は、＃（B ）+ 1 = ＃X（A ）× （＃（B ）- 1 ）：2個の解を持つ。＃X（A ）= 2 、＃（B ）= 3及び＃X$\lambda$$\#(M)$$\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$。2番目の可能性を排除する明白な方法は見当たりません。$\#_x(A)=3, \#(B)=2$

ここで、両側のに等しいサブタームの数に同じ推論を適用してみましょう。還元は、頂部付近いずれかを削除し、の発生が置換されているように、多くの追加としてXを中A、すなわち2.よってのもう一つの発生、Bは消滅しなければなりません。もの以来、Aが（ためのままBが空き含まないXは）、余分な発生B左側にはなければならないλ X 。A。$B$$x$$A$$B$$A$$B$$x$$B$$\lambda x. A$

はサブタームとしてBがないとラーチャーがどのように推測するのか理解できませんが、これは実際に証明に関係ありません。$A$$B$

最初の仮説から、アプリケーションです。場合、これは当てはまらないことができ、Aは= X、従ってA自体がアプリケーションであるM Nと、λ X 。M N = 〔（λ X 。M N ）/ X ] M = 〔（λ X 。M N ）/ X ] $[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$$\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$。以来、部分項としての地位を有することができない、Mは形式持つことができないλ Xを。Pですので、M = xです。同様に、N = xです。$M$$M$$\lambda x.P$$M = x$$N = x$

私は、カウント引数のない証明を好みます。ことを仮定する。$(\lambda x. A) B = [B/x] A$

もし我々有する（λ X 。A ）B = Bため不可能であり、Bは、自身の部分項とすることができません。仮説の右側は、アプリケーションに等しいので従って、Aは、アプリケーションでなければならないA 1 、A 2、及びλ X 。A = [ B / X ] A 1及びB = [ B / X ] A 2。$A = x$$(\lambda x. A) B = B$$B$$A$$A_1 A_2$$\lambda x. A = [B/x] A_1$$B = [B/x] A_2$

前者等式から、いずれか1 = XまたはA 1 = λ X 。[ B / x ] A。第二の場合には、A 1 = λ X 。（λ X 。A 1 A 2）B $ A_1自体の部分項とすることができないため不可能です。$A_1 = x$$A_1 = \lambda x. [B/x] A$$A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$

後者の等式から、またはA 2にフリーxがありません（そうでない場合、Bはそれ自身のサブタームになります）。後者の場合、A 2 = Bです。$A_2 = x$$A_2$$x$$B$$A_2 = B$

ことを示しました。初期仮説の右側は、このようにあるB B、及びB = λ X 。A = λ X 。x x。$A = x x$$B B$$B = \lambda x. A$$\lambda x. x x$