有限グリッドでの行と列の順列によるセルの接続

次の簡単な問題が以前に検討されたかどうか、また解決策がわかっているかどうかを知りたいです。

Gを有限（MxN）グリッド、SをGのセルのサブセット（「クラム」）とします。2つのクラムは、座標が最大で1つ異なる場合（つまり、正方形として描画される場合、少なくとも1つのコーナーポイントを共有する場合）、（ローカルに）接続されていると言われます。

これで、グリッドの行と列を入れ替えることで、クラム（全体として設定）を接続することができます。言い換えると、目的は、行の順列と列の順列を考え出すことで、結果として生じるグリッド内の2つのクラムが（ローカルに）接続されたクラムのチェーンによって接続されるようにすることです。

質問：常に解決策はありますか？

どうやって攻撃したらいいのかよくわかりません。より良いアイデアがないので、私はブルートフォースで解決策を探す生のプログラムを作成しました（ランダムに順列を生成し、結果のグリッドにクラムが接続されているかどうかをチェックします）。これまでのところ、プログラムは小さめの（10x10または7x14）グリッドでソリューションを発見しており、大きなグリッドは明らかに単純化した戦略の範囲外です（ソリューション全体でランダムにつまずくには時間がかかりすぎます）。

これは、プログラムによって解決されるグリッドの例です。

初期グリッド（クラムはXで示され、空のセルはドットで示されます）：

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 X . X X . X . X X .
 1 X . . . . X . . . .
 2 . . X . . . . X . X
 3 . X . . X . X . . X
 4 . . . X . . . . . .
 5 X X . . . X X . X .
 6 . . . X . . . . X .
 7 X . X . . X . . . .
 8 X . . . X . . X X .

解決：

   6 1 4 7 8 2 9 3 5 0
 1 . . . . . . . . X X
 4 . . . . . . . X . .
 5 X X . . X . . . X X
 8 . . X X X . . . . X
 7 . . . . . X . . X X
 0 . . . X X X . X X X
 3 X X X . . . X . . .
 6 . . . . X . . X . .
 2 . . . X . X X . . .

当然、問題は任意の次元d> 2に簡単に一般化できます。他の一般化も検討できると思います。

前もって感謝します、

ヤン・デイビッド

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms

— ヤン・デイビッド
ソース

興味深い問題。アプリケーションはありますか？

— Suresh Venkat

@剛：私が投稿した図には解決策があります（あなたが提供したもの）。削除しました。

— Marzio De Biasi

同時クロスポストは推奨されません。 math.stackexchange.com/questions/83231/...

— 剛伊藤

私の回答の以前のバージョンのものと同様のカウント引数をもっと注意深く試してみましょう。

$n^2 2^{5q}$ $n^2$ $5q$ $n^2 2^{5q} (n!)^2$

$c$ $\binom{n}{c}^n$ $c$ $\exp(cn\log n-O(n))$ $q=cn$ $\exp(2n\log n+O(cn))$ $c>2$

— デビッド・エップスタイン
ソース

c = 3

$c=3$

o (n)

$o(n)$

n > 6 * 2^{15} / e^{2}

$n > 6*2^{15}/e^2$

それは奇妙な数値の一致です。mathoverflow.net/questions/81368/…

— David Eppstein

それは確かにエレガントで説得力のある証拠です。（私は自分の利益のために近似値を詳しく説明するのに少し時間がかかりました。）誰かが具体的な反例を思いつくことができるかどうかはまだわからないままです。上記の@hardmathのコメントは、それが難しいことを示唆しています（CEは醜い獣になるでしょう）。これで、CEのすべての行に同じ数のパンくずを置く必要がなくなりました。

— ヤン・デイビッド