一般的なグラフで2未満の近似で距離を計算しますか？

エッジを持つ重み付き無向グラフを考えると、与えられた頂点のペア間の2未満の近似距離を計算したいと思います。もちろん、二次空間と準線形クエリ時間を使用したいと思います。 $m = o(n^2)$

私は行列乗算を使用するZwickの結果を知っていますが、この問題に対して組み合わせアルゴリズムが知られているかどうか興味がありますか？

ds.algorithms graph-algorithms

こんにちは@Siddhartha、これが愚かな質問なら申し訳ありません。Zwick の結果は二次空間を使用しているようですが、それは正しいですか？

— Hsien-Chih Chang張顯之

また、追加のエラーは許可されますか？

— Hsien-Chih Chang張顯之

@ Hsien-ChihChang張顯之-乗算近似のみの結果に興味がありました。加法近似の場合は、それ自体が興味深い場合があります-密なグラフの方が簡単だと思います。スパナを使用して、十分に密なグラフの加算近似を取得できます。疎グラフの場合、私が知る限り、スパナは役に立ちません。

— シッダールタ

次の引数は機能しませんか？個の頂点と個のエッジを持つグラフを考えます。エッジのすべての重みをみなします。よりも厳密に優れた近似を行うことができる任意の距離オラクルを使用して、グラフにあるかどうかにかかわらず、すべての可能なエッジを決定できます。しかし、それはもちろん、そのような距離オラクルはビットを使用しなければならないことを意味します。番号？（引数は少し手作業ですが、正しいはずです。）（正式には、ビット数はで、です。これは。

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— サリエルのHar-Peled

ありがとう、Sariel-下限を導き出すことは可能かもしれませんが、私はそれで大丈夫です。必要なのは、準2次空間と準線形クエリ時間です。エッジを持つグラフの場合、下限は問題に対して何も言いません-その通りですか？

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— シッダールタ

回答:

私の知る限り、準二次空間および準線形クエリ時間で2未満の近似距離を計算した結果は公開されていません。おおよその距離をすばやく取得するには、BaswanaとKavithaによる「全ペアのおおよその最短パスの高速アルゴリズム」の結果と参考文献をご覧ください（FOCS論文のジャーナル版には関連する作業のレビューがあります）。これらのいずれも二次空間を実現しません。

おおよその距離をコンパクトに取得するには、上記の2つの論文の結果と参考文献をご覧ください。[注意のGaborによる回答への追加として：上記の論文のスパース性の概念に注意してください-近似では、場合、グラフはスパースであると言われます。おそらく既に知っている]。 $2$ $m = o(n^2)$

上記のコメントの1つでサリエルが指摘したように、未満の近似距離を計算するための空間の自然な下限は、つまりグラフのサイズに線形です。クエリ時間が制限されていない場合、この下限は改善できません（当然、グラフを保存するだけで最短経路アルゴリズムを使用できます）。一定のクエリ時間については、2つの下限を知っています。最初に、PatrascuとRoddityのFOCS 2010論文には、未満の近似を適用する条件付き下限がありました。第二に、Sommer et。al。非常にまばらなグラフにはいくつかの下限がありました。他の（重要な）下限を認識していません。 $2$ $\Omega(m)$ $2$

上限に関しては、上記の論文の結果は未満の近似に一般化されていないようです。最近、この問題についていくつかの進歩を遂げました。論文は間もなくArXivに掲載されるはずですが、必要に応じて電子メールを送信していただければ、喜んで論文を共有します。 $2$

お役に立てれば。

〜ラチット・アガルワル

— ラキト
ソース

Rachit Agarwalの2011 INFOCOM論文に興味があるかもしれません。

Rachit Agarwal、P。Brighten Godfrey、Sariel Har-Peled近似距離クエリおよびスパースグラフでのコンパクトルーティング、IEEE INFOCOM 2011

要約から：

グラフ平均度[について]、我々のデータ構造の特別なケースが有するストレッチ2つのパスを取得スペース[...]のコストでクエリ時間。 $\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

それらの距離のオラクルはスパースグラフ専用ですが、対数次数の限界はもっともらしいようです。ボーナスが追加され、アルゴリズムは重み付きグラフでも機能します。

— ガボール・レトヴァリ
ソース

あなたも見てみたいかもしれません

Pătraşcu、Roditty、Distance Oracles Beyond the Thorup--Zwick Bound、FOCS 2010

ストレッチ2 のサイズ距離オラクルがあります。一定時間のクエリをサポートします。 $O(n^{5/3})$

— ゾタチジル
ソース

ありがとう！アグラワルとミハイからの論文は、私が何かを見逃さない限り、近似「2未満」について何も言っていないようです。

— シッダールタ

そうではありませんが、ストレッチを改善するためにトレードオフを取得する方法についてのアイデアを与えるかもしれません。

— ゾタチジル