抽象マシンがそれ自体をシミュレートできる場合、それによりチューリングが完了しますか？

たとえば、プログラミング言語ではX-in-Xコンパイラ/インタープリターを記述するのが一般的ですが、より一般的なレベルでは、多くの既知のチューリング完全なシステムが印象的な方法でシミュレートできます（たとえば、ConwayのGame of LifeでConwayのGame of Lifeをシミュレートします） ）。

だから私の質問は次のとおりです。チューリングが完全であることを証明するのに十分なシステムはそれ自体をシミュレートすることができますか？それは確かに必要な条件です。

必ずしも。たとえば、2 つの状態を持つ2 次元ブロックセルラーオートマトンは、4つの先行セルがちょうど2つの隣接するライブセルを持っている場合にのみセルがライブになるため、2倍の減速と2倍のブローアップで自身をシミュレートできますが、チューリング完全であることは知られていない。 このブロックオートマトンと、このブロックオートマトンをシミュレートできるムーア近傍のB36 / S125ルールの詳細については、ナサニエルジョンストンによるB36 / S125「2x2」ライフライクセルラーオートマトンを参照してください。

いいえ、ちがいます。矛盾/チューリングの完全性を回避するための2つの主要なクラスのテクニックを知っています。

1. 攻撃の最初の行は、構文を計算できるようにシステムをセットアップすることですが、Godelの不動点定理は通過しません。ダンウィラードはこれに広範囲に取り組み、一貫した自己検証論理システムを提供しました。トリックは、乗算と加算の関数シンボルを削除し、それらを除算と減算で置き換えることです。これにより、構文を算術的に表現するのに十分な処理能力が得られますが、乗算は完全には証明できないため、固定小数点定理は成り立ちません。

   ダンウィラードを参照してください。自己検証公理システム、不完全性定理および関連する反射原理。Journal of Symbolic Logic 66（2001）pp。536-596。

2. 攻撃の2行目では、固定小数点をより多く使用できますが、構文が計算されないように設定します。このための最も美しいシステムは、線形論理の変形に基づいています（IMO）。たとえば、照井一成のライトアフィンセット理論では、完全な無制限のセット理解の原理でさえ健全ですが、セット理論の周囲の論理は線形であるため（したがって収縮は許可されません）、ラッセルのパラドックスは導出できません。

   $A \multimap B$

   照井一重。軽いアフィン集合理論：多項式時間の素朴な集合理論。Studia Logica、Vol。77、No. 1、pp。9-40、2004。

   Yves Lafontの次の論文を読んだ後、この論文はよりアクセスしやすいと思います。

   Y.ラフォン、ソフトリニアロジックと多項式時間、理論計算機科学318（暗黙的な計算の複雑さに関する特別な問題）p。163-180、エルゼビア（2004）

   照井の集合論は非常に表現力豊かですが、証明理論的序数は非常に弱いシステムを比較するための良いツールではないため、従来の集合理論と比較することは困難です。たとえば、照井の集合論は明らかにべき乗の合計を証明できないため、その証明理論的強度はまで到達することさえできません。複雑さのクラスはおそらくより優れています-polytimeに対して完全です（すべてのpolytime関数の合計を証明できますが、それ以上ではありません）。$\omega$

   私は、この種のシステムを、複雑性理論が特定の種類の超仕上げの基礎として役立つという考えの概念実証と考える傾向があります。

$i$$x$$0$

$M$$M(\langle \ulcorner M' \urcorner, x \rangle ) = M'(x) = 0$$M', x$

これは明らかにチューリング完全ではありませんが、明らかに普遍的なマシンもあります。