構築不可能な機能と異常な結果

10

Arora-Barakの本では、時間構成可能関数の定義において、時間構成可能ではない関数を使用すると、「異常な結果」につながる可能性があると言われています。誰かがそのような「異常な結果」の例を持っていますか？特に、時間階層定理が成り立たないような関数が存在する可能性があると聞きましたが、そのような関数の例はありますか？これについて文献のどこかに何かありますか？

cc.complexity-theory

— パスカル
ソース

3

：あなたはこれらを見たことがありmath.stackexchange.com/questions/51082/...とcstheory.stackexchange.com/questions/992/...を？

— Jukka Suomela、2011年

@JukkaSuomela：はい、ありますが、それらはどの関数が時間/空間で構成可能であり、なぜそれらが役立つのかについてです。

— Pascal、

11

ボロディンのギャップ定理は：すべての総計算関数について、存在する総計算関数ように。 $g(n) \geq n$ $t$ $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$

実際、これは代わりに任意のBlum複雑度測定に当てはまります。 $DTIME$

ウィキペディアのページと参照も参照してください。

— ジョシュア・グロコウ
ソース

6

ウィキペディアの記事は証明を提供しておらず、論文はACM DLに関するものなので、ここに証明を投稿することは有用だと思いました。

定理3.7。（ギャップ定理）。

LET 複雑さの測度であることそのようなA非減少再帰関数。その後増加再帰関数が存在する複雑さの測度の計算機能は、そのような複雑さの測度の計算機能と同じである。 $\Phi$ $g$ $\forall x, g(x) \geq x$ $t$ $t$ $g\circ t$

証明。

次のようにを定義します。 $t$

$t （ 0 ）：= 1$ $t(0) := 1$ $t （ん）：= μ k > t （ん - 1 ）： \forall 私 \leq ん、（ Φ_{私} （ん） < k \lor Φ_{私} （ん） > g （ k ））$ $t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$

すべてのため、そこにあるすべてのため以来、： $n$ $k$ $i \leq n$

$\Phi_i(n)$ $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$

$\Phi_i(n)$ $\exists k, \Phi_i(n) < k$

$k$ $\Phi$ $\Phi_i(n) <k$ $\Phi_i(n) > g(k)$

$t$ $n \geq i$ $\Phi_i(n) < t(n)$ $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$

QED。

$t$ $t(n) > r(n)$

$t （ 0 ）：= r （ 0 ） + 1$ $t(0) := r(0) + 1$ $t （ん）：= μ k > メートル a バツ {t （ん - 1 ）、 r （ん）} ： \dots$ $t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$

（Allan Borodin著、「計算の複雑さと複雑さのギャップの存在」、JACM 1972、わずかな変更あり。）

— カヴェ
ソース

t (n)

$t(n)$

k

$k$

n

$n$

g (k)

$g(k)$

k

$k$