FOプロパティはいつNL硬度を打ち消すのですか？

コンテキスト： 有向グラフのみを考慮します。CYCLEを周期のあるグラフの言語とする。それはNL完全な問題です。HASEDGEを少なくとも1つのエッジを持つグラフの言語とする。次に、簡単に言うと、はNLハードではなくなりましたが、はです。 $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$

実際の問題：言語はNLハードです。

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$

質問：グラフの語彙のどのFO式が NL-hard？このプロパティは決定可能ですか？ $\phi$

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$

ご協力ありがとうございます。

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— ミハエルキャディラック
ソース

回答:

"実際の問題"のプロパティを。次のマッピングは、を。 $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

所与のために、すべての頂点交換で 2つのコピーがによって及び及びエッジがある場合で、聞かせてエッジを有するおよび。したがって、すべての、グラフは満たし。 $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

また、ときに限りサイクルを有する、したがって、サイクルを有する満たし IFF satifies 。したがって NL-困難です。 $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

同様の構造は、すべての純粋に普遍的な財産で機能すると思います。

— ヤン・ヨハンセン
ソース

Janさん、お疲れ様でした！しかし、あなたが問題に完全に対処したかどうかはわかりません。GにNODIAG構造が現れたとしても、それはあなたの構築の最後、AFAIUに現れます。

— ミカエルCadilhac

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Jan、申し訳ありません。質問の文言を間違えました。説明されているサブグラフは、除外されたグラフと見なされます。前の表現では、グラフがNODIAGから外れるように、4つの新しいノードとエッジ、、およびを追加する必要があるだけであることに注意してください。繰り返しますが、タイプミスを大変申し訳ありません。

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— ミカエルCadilhac

（追記：間違った質問に取り組んだおかげで、リストに表示されない素敵なタイトルのTCS論文があります。Diamondsare Forever（The Variety DA） by Tesson and Therienです。）

— MichaëlCadilhac

その場合、すべてのエッジに新しい頂点を追加するだけではどうでしょう、すべてのをとます。結果のグラフは、 isであり、かつ除外された構造を持たない場合に限り循環します。ところで私はもはやそのリストを維持していません。

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Jan Johannsen、2011

実際の問題はFOにあります。およびようなが存在するかどうかのテストは明らかにFOにあります。 $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

そのようながないと仮定すると、が長さ2の有向サイクルを認める場合に限り、は有向サイクルを認めます。これは、任意の2つの頂点およびについて、それらの隣接およびがまたは。 $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

したがって、FOにあるようなが存在するかどうかを確認するだけで十分です。 $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

したがって、場合に限り、はなります。 $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— エイドリアン
ソース

Adrienに感謝します。なぜ2つのノードの周辺が比較可能であるのかについて、引数を追加してもかまいませんか？誰かが完全な問題に対処しているかどうかを確認するまで少し待ちます。誰も現れない場合は、あなたの答えを探します。

— ミカエルCadilhac

近所の比較可能性が本当に当てはまるとは思いません。たとえば、エッジと持つ4つの頂点のグラフを例にとります。このグラフはマイケルの公式を満たしていますが、はと比較できません。

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Jan Johannsen、2011年

@Jan：間違いではないが、Adrienのポイントは、グラフが2番目の部分を満たさない場合、サイクルがある場合、長さ2のサイクルを持つということです。したがって、彼のポイントはグラフが2番目の部分を満たさない場合<i> </ i>、比較可能性が保持されます。

— ミカエルCadilhac