抽出器から擬似乱数生成器まで？

Luca Trevisanは、実際には擬似乱数ジェネレーターの構造が抽出構造と考えることができることを示しました。

http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/extractor-full.pdf

意味のある会話はありますか？すなわち、抽出器の「自然な」構成は、疑似ランダム生成器（PRG）構成と考えることができますか？

エクストラクタ構造は、PRG上の分布に対応しているように見えます（そのような識別器はほとんどすべてを区別することに成功しません）。このための既知のアプリケーションはありますか？

これはいくつかの側面を持つ美しい研究質問であり、抽出器によってシード抽出器またはシードレス抽出器を意味するかどうか、およびPRGによってブール回路またはより専門的なファミリーのPRGを意味するかどうかに応じて、質問を形式化するさまざまな方法があります（例： 、イプシロンバイアススペース）。ここに私の頭の上のいくつかの非公式な考えがあります（しかし完全な答えではありません）：

• シードされたエクストラクターとブラックボックスPRG（Nisan-Wigdersonの場合）の場合、ブラックボックスPRGはエクストラクターよりも強力なオブジェクトのようです。トレビザンの抽出器を見ると、多項式時間で計算可能な抽出器であるだけでなく、重要な追加のプロパティがあります。つまり、分析には、ローカルで効率的な計算要素（つまり、ローカルリストデコードアルゴリズム）が含まれています。この追加機能は、抽出器にとってはそれほど重要ではありません（抽出器を多項式時間で計算可能にする必要がある場合でも、組み合わせオブジェクトとして）が、PRGにとっては重要です（したがって、識別器を効率的に計算するアルゴリズムに変換できるように）ハード機能）。実際、これは形式化することができ、Ta-ShmaとZuckermanはすでに論文「Extractor Codes」で「ブラックボックスPRG」の定義を形式化しています。彼らは、ブラックボックスPRGを使用して抽出プログラムを構築できることを示しています。逆に、上記の特性を満たすエクストラクタはブラックボックスPRGに対応することを示すことができると思います（エクストラクタ言語では、結果のエクストラクタコードには効率的な軟判定リストデコーダが必要であることを意味します）。また、この議論に関連するVadhanの論文「疑似乱数性の統一理論」を見つけることもできます。

• 種なし抽出器の世界では、トレビザンとバダンは、特定の回路ファミリのハード関数がそのファミリの抽出器になることを示しています（論文「抽出可能なソースの抽出器」）。したがって、たとえば、AC0で平均的に非常に難しい関数は、AC0回路でサンプリングされたソースから抽出できます（ソースの最小エントロピーが十分に大きい場合）。ハード関数は当然、PRGに関連しています（Nisan-Wigdersonが観察）。そのため、ここでもPRGとシードレスエクストラクタの相互作用が多少異なります。ただし、PRGを取得するために、抽出可能なソースの抽出プログラムを使用して（いくつかの追加プロパティを満たす可能性があります）（次の箇条書きはこれに対する部分的な答えを提供します）。この方向は、これまでシードされたエクストラクタに関する上記の議論よりも興味深いかもしれません。

• $S$$\{0,1\}^n$$n$$0$$2^m$$m$$S$$F$$|S \cap F|/|S|$$|F|/2^n$$F$$S$$|S \cap F|/|S|$$1/2$$\{0,1\}^n$$n-1$$1$$S$$0$$n-1$

Salil Vadhanは、私の質問に対する答えは既知であり、PRGは抽出器と同等であると書いています。

彼を引用：

「私の調査http://people.seas.harvard.edu/~salil/research/unified-icm.pdfで提案21とそれに続く議論を参照してください （タイプミスがあります-「ブラックボックス硬度アンプ」は「ブラック-box PRGの構築」）

抽出器は、削減の実行時間ではなく、アドバイスの量のみに注目するブラックボックスPRG構造と同等であると言います。制限された実行時間を求めることは、「ローカルリストデコード」の抽出機能を求めることになります。

分散機に関するこの質問の類似物に関するChris Umansの素晴らしい論文があります：http ://www.cs.caltech.edu/~umans/papers/U05-final.pdf

彼は、多項式時間の再構築手順を備えた分散器は、必ずしもローカルデコードプロパティではないことを示しており、ヒットセットジェネレーターの存在を暗示しています。

別の表示方法は次のとおりです。抽出プログラムはリスト回復可能コード（リスト復号可能コードのより強力なバリアント）として表示でき、ブラックボックスPRGはローカルリスト回復可能コードとして表示できます。分散機は、ゼロエラーのリスト回復可能コードと見なすことができます。Chrisが示しているのは、多項式時間リスト回復手順を持つゼロエラーのリスト回復可能コードは、ローカルリスト回復手順を持つリスト回復可能コードの存在を暗示しているということです。