DFAサイズの関数としての通常言語の等価クラスの数

この質問は 、ジャノマによる最近の質問に関連しています。

バックグラウンド

制約プログラミングでは、定期的なグローバル制約$c$ドメイン上$D$対で$(s, M)$と$s$変数のタプル（スコープ）と$M$ドメイン上DFA $D$。Mが文字列θ （s 1）θ （s 2）… θ （s n）を受け入れる 場合、sへ の代入$\theta$はcを満たします。$s$$c$$M$$\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

以下では、ドメイン$D$が固定されていると仮定します。同値関係を定義します$\sim$文字列の集合の上に$T = D^{|s|}$その結果、〜B、すべてのDFAのためであればMのいずれか、B ∈ L （M ）または、B ∉ L （M ）。直感的には、DFAがそれらを区別できない限り、2つの文字列は同等です。それが当てはまる場合、それらは同じ規則的な制約も満たし ます。$a \sim b$$M$$a, b \in L(M)$$a, b \not\in L(M)$

何らかの方法でDFAを制限しない場合、等価クラス$T/{\sim}$セットは単なる$T$ます。等価クラスの数に興味があります。$\sim$状態の数の関数として$n$ 我々はDFAのために許可されていること。明らかに、$n = |D|^{|s|}$（定数を無視）then $|T/{\sim}| = |T|$。（もちろん、ここでの$n$はそれ自体$|s|$関数になります。）

ご質問

1. 最小は何である$n$については$|T/{\sim}| = |T|$？
2. その下で何が起こりますか？特に、
   • |のような$n$があります T / 〜| = O （| s | | D |）？$|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$
   • |のような$n$があります T / 〜| = O （| s | × | D |）？$|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$

この質問に対する私の動機は、このような多項式（$|s|^{|D|}$）の数の等価クラスを持つことで、カーディナリティー制約のある制約問題の扱いやすいケースが得られたことです。私は現在、これらの線に沿って、通常の制約に対して何かできるかどうかを確認しようとしています。

編集：Hermann Gruberによる、上部で参照されている質問に対するこの回答にも注意してください。回答のリンクが得られるはずの用紙に境界kは、質問1の答えがでなければならないよう≥ Kが、それは私には明らかにされていません。$k$$\geq k$

質問1への回答

最小は何である$n$については$|T/{\sim}|=|T|$？

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$。

で得られた

ロブソン、JM、小さなオートマトンで文字列を分離、Inf。処理する。レット。３０、Ｎｏ．４、２０９−２１４（１９８９）。ZBL0666.68051。