サイズ DFAで受け入れられる言語の数は？

質問は単純で直接的です。固定、サイズ DFAで受け入れられる（異なる）言語の（状態）はいくつですか。これを正式に述べます。 $n$ $n$ $n$

DFAをとして定義します。ここで、すべては通常通りで、は（おそらく部分的な）関数です。時には全機能のみが有効と見なされるため、これを確立する必要があります。 $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

ごとに、すべてのDFAのセットで（等価）リレーションに定義します。 ifおよび。 $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

質問は次のとおりです。指定された、インデックスは何ですか？つまり、セットですか？ $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

場合でも合計関数である、（少なくとも私にとっては）簡単な数ではないようです。したがって、例えば、ある、グラフが接続されないことがあり、初期状態を含む連結成分内の状態は、すべての受け入れ可能性があり、多くの大きさのグラフ受け入れる。空の言語や、最小DFAの状態数が未満である他の言語についての他の些細な組み合わせと同じです。 $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

（単純な）再帰も機能しないようです。サイズ DFAを取得して新しい状態を追加した場合、決定論を保持し、新しいグラフを接続したい場合（些細なケースを避けるため）、新しい状態を接続する遷移を削除する必要がありますが、その場合、元の言語が失われる可能性があります。 $k$

何かご意見は？

注意。公式の声明で、以前の注意をそらす要素なしで、質問を再度更新しました。

— じゃのま
ソース

ただ、明確にする：あなたは、「どのように多くの異なる言語1を使用して定義することができます意味するか

？状態」を、言語を使用して定義されている場所とDFAがある場合の状態を、それを受け入れる状態は。また、正規表現の場合、正規表現「a * aaaaaa」には必ず1つ以上の連結がありますが、DFAに必要な状態は1つだけです（別のシンクが必要な場合は2つ）。

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— エフゲニーストーステンセン

謝罪：正規表現の例では、「a a a a a *」である必要があります。これは任意の数を許可します。

— エフゲニーストーステンセン

の定義は、「ドット深さ」の概念に非常に関連しているように見えますが、通常、概念はスターのない言語に適用されます（おそらく@Evgenij Thorstensenが概説した理由のため）。

c (r)

$c(r)$

— ムム

自明な観察：

状態を使用して、少なくとも

異なる言語を定義できます。

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— エフゲニーストルステンセン

私たちは、そう、もう少し得ることができます

OKです。しかし、N-状態オートマトンの数は約あり

（仮定

）。我々は得ることができます

？

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— カヴェー

この質問は以前に研究されたと思います。Mike Domaratzkiはこの分野の研究に関する調査を書きました：「形式言語の列挙」、Bull。EATCS、vol。89（2006年6月）、113-133：http ://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— ヘルマン・グルーバー
ソース

このペーパーは、120ページ以降の質問に正確に対応しています。それは関数

であり、紙はそれについてかなりきつい境界（上記のKavehが言及したものに近い）を与えますが、私はすべての詳細を吸入していません。

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— エフゲニーストルステンセン

確かに。必要なのは、

、または与えられた関係により、

。これは、

文字のアルファベット上の

状態を持つペアワイズ非同型最小DFAの数です。私もそれを詳細に見ていませんが、正確な量ではなく、境界だけが知られているようです。

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

— ジャノマ

そして、同じ著者から、我々は記事持っているn個の状態と有限オートマトンによって明確な言語受理の数にしさえするために、明示的な計算を与え、

（

）、

（

）及び

（

）。

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$

— ジャノマ