最大マッチング問題の興味深いバリアント

グラフ与えられた場合、従来の最大マッチング問題は、各エッジ、に対してエッジ stの最大サブセットを選択することです。 $G(V,E)$ $M$ $(u,v) \in M$ $d(u)=d(v)=1$

誰かが次の亜種を研究しましたか？各エッジ、が成り立つ、ここでcはa絶え間ない。この制約を次数制約と呼びます。 $(u,v) \in M$ $\left( \left(d(u) < c\right) \lor \left(d(v) < c\right) \right)$

古典的な制約は、定数1の次数の結合です。新しいバリアントは、定数次数の分離です。 $c$

Jukka Suomelaが示すように、の問題はすでにです。潜在的な近似アルゴリズムに興味があります。単純な貪欲アルゴリズムは、スターサブグラフ（つまり、エッジ（特別なスター））が選択できなくなるまで、最大のスターサブグラフを繰り返し選択します。ただし、場合、がツリーであっても、このアルゴリズムはうまく機能しません。中心が次数内側の星があり、各中心が次数外側の星が個あり、内側の星の中心に接続されています。最適値は、を選択することによってのそれぞれからエッジを $c=2$ $NP-complete$ $G$ $c=3$ $x$ $x$ $x$ $2*x+(x-2)*(x-1)$ $x-2$ $x-2$ 外側の星と2つの完全な外側の星。貪欲なアルゴリズムによって生成される値は、内側の星とすべての外側の星から1つのエッジを選択することでなります。 $x+1*x$

上記の貪欲なアルゴリズムは近似で、。このアルゴリズムのより良い近似アルゴリズムを見つけるか、その近似の硬さを証明したいと思います。 $2\sqrt{n-1}$ $n=|V|$

さらに、パラメーター化された複雑さのフレームワークでこの問題の複雑さのクラスを知りたいです。多分それは合理的な固定パラメータアルゴリズムを負担します。

事前にコメントと回答をありがとうございます。:-)

— チャン・チャン
ソース

したがって、場合、互いに素な星で構成される部分グラフを見つけたいですか？そして、例えば、、最適解は正確に2つの星（エッジ）で構成されますか？

c = 1

$c = 1$

K_{n, n}

$K_{n,n}$

2 n - 2

$2n-2$

— Jukka Suomela、2011

の場合は支配集合の問題と密接に関連しているようですノードのグラフでは、サイズ支配集合がある場合にのみ、エッジの解を見つけることができます。

c = 1

$c=1$

n

$n$

n - k

$n-k$

k

$k$

— Jukka Suomela、2011

はい。ない

が、

、あなたのインスタンスです。どうもありがとうございました。それはまさに私が聞きたいことです。誰かが以前にこの亜種を研究したことがありますか？私の現在の問題は、

2部グラフです。

c = 1

$c=1$

c = 2

$c=2$

c = 3

$c=3$

— Peng Zhang

まあ、多くの人々が支配セットを研究しています。:)二部グラフでも、解くのが難しく、近似するのが難しい。大きな

場合は簡単ではないと

c

$c$

— 思い

承認された回答のある質問に賞金が付いているのを見るのは少し混乱します。新しい質問を個別に発行する方がいいでしょう。残念ながら、賞金を獲得したので、それは不可能だと思います。

— Suresh Venkat、2011

（接続が完全に明らかではないようですので、上記のコメントの拡張バージョンを回答として書きます。）

場合に焦点を当てます。その場合、問題は次のように言い換えることができます。 $c = 2$

ましょうグラフです。タスクは、最大サイズを見つけることである以下の制約が満たされるように各用、いずれかの高々に入射するにおけるエッジ、またはせいぜいに入射するエッジ、またはその両方。 $G = (V,E)$ $M \subseteq E$ $\{u,v\} \in M$ $u$ $1$ $M$ $v$ $1$ $M$

同等に：

によって誘導されたサブグラフは、非葉ノード（次数> 1）のすべての隣接ノードが葉ノード（次数= 1）であるという特性を持つ必要があります。 $M$

同等に：

によって誘導された部分グラフは、ノードが互いに素な星で構成されます。 $M$

以下では、一致しないノード（のどのエッジにも影響しないノード）を、エッジが0の星として解釈します。したがって、実行可能なソリューションは、ノードのセットをノードの素な星に分割します。 $M$

このような星の数がである場合、のエッジの数は正確にです。星の中心に接続されている葉ノードがあります。したがって、のエッジの数を最大化することは、星の数を最小化することと同じです。 $k$ $M$ $n-k$ $n-k$ $M$

これで、サイズ支配的なセットがある場合に限り、ような星を持つソリューションがあることが簡単にわかります。 $k$ $k$

そのような星が与えられていると仮定します。次に、サイズ支配的なセットを見つけることができます。星の中心を取る（1つのエッジを持つ星では、ノードを任意に選択できます）。 $k$ $k$
支配集合が与えられていると仮定します。その後、我々は、単に、各ノードを接続することができる内の1つのノードに。これらのエッジは、スターのファミリーを形成します。 $D$ $|D| = k$ $V \setminus D$ $D$ $k$

したがって、特定のグラフファミリーで問題を最適に解決することは、同じグラフファミリーで最小支配セットを見つけることとまったく同じくらい困難です。特に、問題は2部グラフの場合でもNP困難です。 $F$ $F$

（ただし、支配集合に関連する（非）近似性の結果は、ここでは直接適用できません。本質的に、目的関数をから。） $\min |D|$ $\max n-|D|$

— ジュッカスオメラ
ソース

すごい。支配セットに関連する（in）近似性の結果は、頂点カバーの（in）近似性を独立セットに適用することが不可能であるのと同じように、ここでは直接適用できません。

— Peng Zhang

以下のために

、それはまた、ある

。我々が低減される

と

c = 3

$c=3$

N P - c o m p l e t e

$NP-complete$

(G (V, E), c = 2)

$( G(V,E),c=2)$

(G^{'} (V \cup {v}, E \cup {(u, v)}, u \in V), c = 3)

$( G'(V \cup \{v\} , E \cup \{(u,v)\}, u \in V), c=3)$ 。

有する

IFF溶液

持つ

溶液を。

G

$G$

K

$K$

G^{'}

$G'$

K

$K$

— Peng Zhang