グラフクラスの認識の困難さと禁止されたサブグラフの特性評価の関係

禁止されたサブグラフによって特徴付けられるグラフクラスを検討しています。

グラフクラスに禁止サブグラフの有限セットがある場合、単純な多項式時間認識アルゴリズムがあります（ブルートフォースを使用できます）。しかし、禁止された部分グラフの無限のファミリーは困難を意味しません。禁止された部分グラフの無限のリストを持つクラスがいくつかあり、そのため認識も多項式時間でテストできます。弦グラフと完全グラフは例ですが、これらの場合、禁止された家族には「いい」構造があります。

クラスの認識の難しさと禁断の家族の「悪い行動」との間に関係はありますか？そのような関係が存在する必要がありますか？この「悪い振る舞い」はどこかで形式化されましたか？

NP困難な認識を持つグラフのクラスの禁止（誘導）部分グラフのリストは、「本質的な」複雑さを持つべきであると直感的に思えますが、最近、この直感に対するいくつかの印象的な否定的な証拠を文学で見つけました。$\mathscr{C}$

おそらく最も簡単に説明できるのは、B。Lévêque、D。Lin、F。Maffray、N。Trotignonの記事から引用したものです。

LET 同じ頂点に隣接する2つの：長さのサイクルで構成されているグラフのファミリーは少なくとも4つ、加えて3つの頂点であり、Uサイクルの、頂点に隣接するVサイクルの、U及びVはありますサイクル内で連続していません（他のエッジもありません）。$F$$u$$v$$u$$v$

今聞かせて追加点を除いて、まったく同じように構成されているグラフの家族も4つの同じ頂点に隣接する2：頂点uのサイクルの（以前のように）、今2同じ頂点に隣接したVのをここでも、uとvは連続していません。$F'$$u$$v$$u$$v$

$F$$F'$

$F$$F'$

@Hugoの答えは本当に素晴らしいです。ここで個人的な意見を追加したいと思います。

ファミリFおよびF 'のグラフに類似した関連ファミリがあります。この記事のファミリーB1のグラフは、通常ピラミッドと呼ばれます。そして、ファミリーB2のグラフは通常プリズムと呼ばれます。説明については、こちらの回答を参照してください。誘導されたサブグラフ検出問題の文献では、それらは偶数/奇数の穴の検出に使用されました。これは偶数/奇数の長さのコードレスサイクルです。有名な強力な完全グラフ定理により、GとGの補数の両方に奇数の穴が含まれていない場合、グラフGは完全です。

ピラミッドとプリズムのファミリでは、実際にはそれらの間に違いがあります-1つは3つのリーフの誘導サブツリーを持ち、もう1つはありません。これは「ツリー内の3つの問題」と呼ばれ、ChudnovskyとSeymourによって研究されています。与えられた3つのノードを含む誘導ツリーがあるかどうかを判断するのは簡単ですが、「中心にある4つのツリー」問題はNP-hardです。（中心ツリーとは、次数が2を超えるノードを1つしか持たないツリーです。）FとF 'の違いは、同じ理由で発生しているようです。

しかし、完全な特性評価はまだ難しいようです。これは、奇数ホールフリーグラフのように単純に見えるファミリの一部でグラフを検出する複雑ささえ知らないためです（！）。また、完全なグラフや偶数ホールのないグラフのような多項式時間アルゴリズムが存在することを知っているファミリについては、アルゴリズムを設計するための一般的な戦略（分解に基づく）がありますが、特定の構造定理を提供する必要がありますそれら。これは通常、家族に依存するプロセスであり、ほとんどの場合、証明は非常に長くなります。（ここに、紙が90ページを超える偶数ホールのないグラフの例があります。）

それでも、ツリー内の3つの問題のような意味で、誘導されたサブグラフの検出問題にいくつかの分類があることは興味深いでしょう。