ゼロ型の方程式の法則は何ですか？

免責事項：私は型理論を気にしているが、自分自身を型理論の専門家とは考えていない。

単純に型付けされたラムダ計算では、ゼロ型にはコンストラクターと一意のエリミネーターがありません。

\frac{Γ ⊢ M : 0}{Γ ⊢ i n i t i a l (M) : A}

$\frac{\Gamma \vdash M \colon 0}{\Gamma \vdash initial (M) \colon A}$

表示の観点から、式は明らかです（型が意味をなす場合）。 $initial (M_1) = initial(M_2)$

ただし、その観点から、場合、推定することもできます。この演ductionはより強いように見えますが、それを示す特定のモデルは私を避けます。 $M,M' \colon 0$ $M = M'$

（しかし、いくつかの証明理論的な直観があります：住民を獲得するためにどの矛盾を使用しても構いませんが、異なる矛盾証明があるかもしれません。）

だから私の質問は：

ゼロ型の標準方程式は何ですか？
それらのいずれかが法または法に分類されていますか？ $\eta$ $\beta$

— オハド・カンマル
ソース

回答:

空の型の標準の等式規則は、あなたが推測するように、です。セットがタイプによって解釈される標準のセット理論モデルを考えてください。合計タイプは互いに素な結合であり、空のタイプは空のセットです。したがって、任意の2つの関数は、共通のグラフ（空のグラフ）を持っているため、等しくなければなりません。。 $\Gamma \vdash e = e' : 0$ $e,e' : \Gamma \to 0$
空のタイプには導入フォームがないため、ルールはありません。その唯一の等式規則は規則です。ただし、etaルールをどの程度厳密に解釈したいかによっては、これをと通勤変換に分割することをお勧めします。厳密なルールは次のとおりです。 $\beta$ $\eta$ $\eta$ $\eta$

$e = 私 n 私 t 私 a l （ e ）$ $e = \mathrm{initial}(e)$
通勤カバーは次のとおりです。

$C [私 n 私 t 私 a l （ e ）] = 私 n 私 t 私 a l （ e ）$ $C[\mathrm{initial}(e)] = \mathrm{initial}(e)$

編集：

ゼロ型での分布性がすべてのマップ等価性を意味する理由は次のとおりです。 $A \to 0$

修正表記に、の書き込みを聞かせてよりユニークなマップであることをに、との書き込みましょうからいくつかのマップであることをに。 $!_A : 0 \to A$ $0$ $A$ $e : A \to 0$ $A$ $0$

現在、分布条件は同型。初期オブジェクトは同型まで一意であるため、これは自体が初期オブジェクトであることを意味します。これを使用して、自体が初期オブジェクトであることを示すことができます。 $i : 0 \simeq A \times 0$ $A \times 0$ $A$

以来最初のオブジェクトである、我々は知っているマップするして同じです。 $A \times 0$ $\pi_1 : A \times 0 \to A$ $!_A \circ \pi_2$

ここで、が初期オブジェクトであることを示すために、と間の同型を示す必要があり。同型の成分としておよびを選択しましょう。およびことを示したいとます。 $A$ $0$ $e : A \to 0$ $!_A : 0 \to A$ $e \circ !_A = id_0$ $!_A \circ e = id_A$

タイプマップは1つしかないため、をすぐに表示できます。また、常にアイデンティティマップがあることがわかります。 $e \circ !_A = id_0$ $0 \to 0$

他の方向を示すには、

\begin{array}{lcll} i d_{A} & = & π_{1} \circ (i d_{A}, e) & Product equations \\ = & !_{A} \circ π_{2} \circ (i d_{A}, e) & Since A \times 0 is initial \\ = & !_{A} \circ e & Product equations \end{array}

$\begin{array}{lcll} id_A & = & \pi_1 \circ (id_A, e) & \mbox{Product equations} \\ & = & !_A \circ \pi_2 \circ (id_A, e) & \mbox{Since $A\times 0$ is initial} \\ & = & !_A \circ e & \mbox{Product equations} \end{array}$

したがって、同型があるため、は初期オブジェクトです。したがって、マップは一意であるため、、です。 $A \simeq 0$ $A$ $A \to 0$ $e,e' : A \to 0$ $e = e'$

編集2：私が当初考えていたよりも状況がきれいであることがわかりました。Ulrich Bucholzから、すべてのbiCCCが分配的であることは明らかです（数学的には「後ろ向きに明白」という意味）。ちょっとした証拠があります： $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$

\begin{array}{lcl} H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) & ≃ & H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A, C \to (A + B) \times C) \times H o m (B, C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A \times C, (A + B) \times C) \times H o m (B \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) & \simeq & \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A , C \to (A + B) \times C) \times \Hom(B, C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A \times C, (A + B) \times C) \times \Hom(B \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}$

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

1に関して：私はゼロ型を初期オブジェクトと考えています。初期のオブジェクトは、複数の矢を持っていることに彼らが、唯一の1の矢印を持つことができて、それらの。言い換えれば、bi-CCCであることがサブターミナルであることを0に意味する理由はすぐにはわかりません。あるの？

— オハドカマー

はい：合計を含むSTLCがそれを解釈するために分散 bi-CCC（）を必要とするという事実、および0の一意性タイプはそのヌルバージョンとして来ます。（合計の消去ルールの解釈を書き留めてみてください。それが表示されます。）

(X \times A) + (X \times B) ≃ X \times (A + B)

$(X \times A) + (X \times B) \simeq X \times (A+B)$

— ニールクリシュナスワミ

従わない分布はは逆です。がサブターミナルであることを意味するのはなぜですか？

i n i t i a l : 0 \to A \times 0

$initial : 0 \to A\times 0$

0

$0$

— オハドカマー

あぁ！その証拠をありがとう！そして、忍耐のためにも！

— オハドカマー

編集2について：左の隣接者はコリミットを保持します。カテゴリーがデカルト閉の場合、は随伴するため、は合計ます。

(-) \times C

$(-)\times C$

(-)^{C}

$(-)^C$

(A + B) \times C

$(A+B)\times C$

A \times C + B \times C

$A\times C + B\times C$

— オハドカマー

方程式は、が最大で1つの要素しか持たないという事実のみをキャプチャするため、Neelがストーリー全体をキャプチャしているとは思わない。次のように、空のタイプを公理化します。 $e = e' : 0$ $0$ $0$

導入ルールはありません。除去ルールは方程式はで、およびです。全体に任意の型があります。方程式の動機は次のとおりです。用語場合、にはが含まれますが、これは不合理なのですべての方程式が成り立ちます。同じ効果を達成する別の方法は、方程式をポーズすること

\frac{e : 0}{{m a g i c}_{τ} (e) : τ} .

$\frac{e : 0}{\mathtt{magic}_\tau(e) : \tau}.$

{m a g i c}_{τ} (e) = e^{'} : τ

$\mathtt{magic}_\tau(e) = e' : \tau$

e : 0

$e : 0$

e^{'} : τ

$e' : \tau$

τ

$\tau$

{m a g i c}_{τ} (e)

$\mathtt{magic}_\tau(e)$

0

$0$

e

$e$

x : 0, Γ ⊢ e_{1} = e_{2} : τ

$x : 0, \Gamma \vdash e_1 = e_2 : \tau$ コンテキストをいじるので、おそらくあまり良くありません。一方、

から

までの任意の2つの射が等しいという事実を述べていることをより明確に示しています（

はCCCの注意散漫です）。

0

$0$

τ

$\tau$

Γ

$\Gamma$

— アンドレイ・バウアー
ソース

こんにちはAndrej、あなたが提案する方程式は、私が与えた通勤変換から導き出せます。

から誘導可能である

、以降の

実際に発生する必要はありません左の用語。類推は

m a g i c (e) = e^{'}

$\mathtt{magic}(e) = e'$

C [m a g i c (e)] = m a g i c (e)

$C[\mathtt{magic}(e)] = \mathtt{magic}(e)$

m a g i c (e)

$\mathtt{magic}(e)$

、両方のブランチで同じことをすれば、ケース分析の結果を使用しなくても大丈夫です。

C [c a s e (e, x . e^{'}, y . e^{″})] = c a s e (e, x . C [e^{'}], y . C [e^{″}])

$C[\mathtt{case}(e,x.\;e',y.\;e'')] = \mathtt{case}(e, x.\;C[e'], y.\;C[e''])$

— ニールクリシュナスワミ

ただし、コンテキスト付きのプレゼンテーションの方が好きだということを付け加える必要があります。実際、コンテキスト内の合計値の方程式を実際に許可すると、一般的に最もクリーンだと思います。実際の証明では、通勤コンバージョンを伴うゲーム、IMOよりもはるかに優れています。（IIRC、これは、安定な連産品の追加の仮定を追加するのと同じですが、すべてのモデルについて、この保留について気にするのが合理的に見られます。）

— ニール・クリシュナスワミ

ああ、素晴らしい。通勤変換について考えるのは遅すぎたので、その部分を書いていないふりをした。これで、Ohadがピックを取得できます。

— アンドレイバウアー

モデルのクラスでいくつかの構造（

、

など）ルールを検証していました。私が与えた方程式のセットが完全ではないことを知っていますが（そのためには複雑な値とスタックを持つCBPVが必要です）、少なくとも十分な方程式があれば完全性を証明するために使用される標準方程式をキャプチャしたかったのです。言い換えれば、ゼロ型の標準的な方程式の法則が必要でした。

η

$\eta$

β

$\beta$

— オハドカマー

ゼロ型に対する標準の等式法則はありません。論理学者は常に空の談話の世界を恐れており、コンピューター科学者は常に空のタイプを恐れていました。空のタイプを拒否するために、空でないタイプに「void」という名前を付けました。

— アンドレイバウアー