ペアワイズ交差ファミリーのセットを打つ

打撃セットファミリーのサブセットであるのように用。特定のファミリの最小ヒットセットを見つける問題は、頂点カバー問題を一般化するため、一般にNP困難です。今私の質問は：H ⋃ N iは= 1つの S I H ∩ SをI ≠ ∅ 1 ≤ I ≤ $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$$H$$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

要素がペアで交差する場合、ヒットセットの問題はNPハードのままですか？$\mathcal{S}$

また、この問題の近似硬度（または扱いやすさ）にも興味があります。

答えはイエスです-問題はまだNP完全です。すべてのセットに対して、偽の要素を作成し、新しいセットS_i' = S_i \ cup \ {e_i '\}およびS_i' '= S_i \ cup \ {e_i' '\}を作成します。古いシステムのヒットセットが新しいシステムのヒットセットであることを確認するのは簡単です。さらに、偽の要素を除いて、すべての要素が少なくとも3セットヒットします。$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

次に、新しいシステム内のすべてのセットのペア（混乱を避けるために$T_i$およびT_jと呼びます$T_j$）に対して、偽の要素$x_{ij}$を作成し、それを$T_i$とT_jの両方に追加し$T_j$ます。明らかに、結果のセットシステムではすべてのセットがペアワイズ交差しますが、元の最適なヒットセットは、この最新のシステムの最適なヒットセットのままです。

それ以上の制限がなければ、問題は元の問題と同じくらい困難に見えます。

ところで、実際に最適なソリューションが偽の要素を使用しないことを証明することは簡単ではありません。まず、新しいシステムの特定のヒットセットにはまたは含まれないと想定できます。そうでない場合は、要素をセットの元の要素に移動し、同様のサイズのヒットセットを取得できます。要素が最適なヒットセットに含まれていない理由を確認するのは、少し微妙です。退屈なので、ヒントを残しておきますがこれらのセットから派生した2つのセットを接続する場合、元のシステムで2つのセットと接続するグラフを作成します。最小ヒットセットのこのグラフはなければならないことを主張します。$e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$$3$規則的であるため、その中のエッジの数は、頂点として存在するセットの数を厳密に超えています。そのため、これらのセットにはより小さいヒットセットを見つけることができます。