トレース等価性とLTL等価性

LTLに相当するが、トレースに相当しない2つの移行システムの簡単な例を探しています。

書籍「Principles of Model Checking」（Baier / Katoen）で、トレース等価がLTL等価よりも優れているという証拠を読んだことがありますが、本当に理解できるかはわかりません。私はそれを想像することはできませんが、違いを視覚化できる簡単な例がありますか？

lo.logic model-checking linear-temporal-logic

— 壮大な
ソース

タイトルの頭字語を拡張することをお勧めします。これは、他の人が質問と回答を見つけるのに役立ちます。また、適切な回答を提供できる人にあなたの質問に注意を向けるのにも役立ちます。

— マークハーマン

グーグル検索は言うまでもありません:)

— Suresh Venkat

@Marc：頭字語LTLを使用することは絶対に標準です-モーダル論理学者は簡単な名前（B、D4.3、KL、＆cなど）が好きです。タグがあるので、タイトルを展開しないでください。

— チャールズ・スチュワート

質問はまだあまり明確に定義されていません：無限のクリプキ構造を許可していますか？混合（最大）有限および無限トレースを検討しますか、または無限トレースのみを許可しますか？AFAICR Baier＆Katoenは、以下のDaveの答えを除外する有限のKripke構造と無限のトレースの場合のみを考慮するため、私は尋ねています。

— シルヴァン

@atticae：有限の合計Kripke構造（したがって無限のトレース）を使用すると、LTLの等価性とトレースの等価性が同じものになると予想されます...それについて考えます。

— シルヴァン

回答:

バイエルとカトーエンをよく読んで、彼らは有限と無限の両方の遷移システムを検討しています。定義については、その本の20ページを参照してください。

最初に、単純な遷移システム $EVEN$ ます。

補題：言語 Traces 認識するLTL式はありません。列ときに限りためにも。Wolper '81を参照してください。あなたがいないLTL式が最初示すことによって、これを証明することができ「次回」演算子は、フォームの文字列を区別することができするために $L_{even} =$ $(EVEN)$ $c \in L_{even}$ $c_i = a$ $i$ $n$ $p^i\neg p p^\omega$ $i> n$ 、単純な誘導によって。

次の（無限、非決定的）遷移システム考えます。2つの異なる初期状態があることに注意してください。 $NOTEVEN$

ここに画像の説明を入力してください

そのトレースは正確であり。 $\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

補題への当然の帰結：もしその後、 $NOTEVEN \vDash \phi$ $EVEN \not\vDash \neg\phi$

ここで、この単純な遷移システム考えてみましょう。 $TOTAL$

合計TS

そのトレースは明らかであり。 $\{a,\neg a\}^\omega$

したがって、とはトレース等価ではありません。それらがLTLに相当しないと仮定します。その後、我々はLTL式であろうように及び。しかし、その後、。これは矛盾です。 $NOTEVEN$ $TOTAL$ $\phi$ $NOTEVEN \vDash \phi$ $TOTAL \not\vDash \phi$ $EVEN\vDash \neg\phi$

この回答の最初のバージョンで愚かなバグをキャッチしてくれたSylvainに感謝します。

— マーク・ライトブラット
ソース

うーん、これは完全に明確ではありません。矛盾を回避するステップをより明確にする必要がありますか？移行システムはまた、かなり彼らは...可能性としてはありません

— マーク・Reitblatt

あなたが誤って解釈されている

言語を：あなたが提案しているシステムは、以下の式と等価である

。正しいシステムは、

ラベル付けされ

状態

と

でラベル付けされ

いない1つの

間の最初の

ラベル付けされ

状態

で非決定的な選択を持つ必要が

ます。どちらの

と

L_{even}

$L_\text{even}$

a \land G ((a \to X \neg a) \land (\neg a \to X a))

$a\wedge\mathsf{G}((a\to\mathsf{X}\neg a)\wedge(\neg a\to\mathsf{X}a))$

a

$a$

q_{0}

$q_0$

q_{1}

$q_1$

a

$a$

q_{2}

$q_2$

a

$a$

q_{1}

$q_1$

は

戻る遷移があり

。

q_{2}

$q_2$

q_{0}

$q_0$

— シルヴァン

@Sylvainあなたは正しいです。私は単純化しようとしましたが、結局それを壊してしまいました！それを修正させてください。

— マークReitblatt

あなたは、引数を"逆転"することはできませんので、あなたが最後に比較する2つのシステムがあることを

と

の代わりに、

と

？

E V E N

$\mathit{EVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

N O T E V E N

$\mathit{NOTEVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

— シルヴァン

@マークReitblatt：何からあなたの理由最後に文という「しかし、その後、

。」？私はその点につながる議論を見ることができません。それは矛盾を示すために不可欠です。

E V E N ⊨ \neg ϕ

$EVEN\vDash \neg\phi$

— マグナティック

LTL定義に「next」演算子が含まれている場合、次が適用されます。トレースと 2つのセットがあります。してみましょうトレースの任意の有限プレフィックスも。は、トレースの有限プレフィックスでもある必要があります。そうでない場合は、これを、差を検出する一連のネクスト演算子である式に変換できるためです。したがって、ワードのすべての有限プレフィックスはワードの有限プレフィックスである必要があり、その逆も同様です。これは、場合、そのすべての有限プレフィックスが現れるように単語が必要でが、 $A$ $B$ $b$ $B$ $b$ $A$ $B$ $A$ $A \not= B$ $b$ $A$ 自体は現れません。とが有限遷移システムによって生成される場合、これは不可能だと思います。無限の遷移システムを想定して、次を定義できます。 $b$ $A$ $A$ $B$

およびここで、は無限の単語です。 $A = \{a,b\}^\omega$ $B = A \setminus \{w\}$ $w$ $aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$

はサブセットであるため、に対して普遍的に保持されるLTL式はに対しても一般的に保持されます。を保持するすべてのLTL式はも保持します。矛盾を避けるため、そうではないと仮定しますが、はすべての要素（つまり、単語期待する宇宙のすべての要素）に適用されますが、は適用されません。次いでにTRUEと評価さなく、宇宙の他の単語に（及びLTLが否定の下では閉じている）、およびのみに当てはまることができないLTL式が存在しない $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$ $\varphi$ $B$ $w$ $w$ $\neg\varphi$ $w$ $w$ 無限の単語を1つだけ受け入れるすべてのBuchiオートマトンは厳密に循環している必要がありますが、はそうではありません。 $w$

— antti.huima
ソース

これらは有限の痕跡です。あなたが無限トレースにそれらを拡張すると仮定

末端に、式

第2のセットを受け入れるが、最初のを拒否する。

a^{ω}

$a^\omega$

\neg (b \land X (b \land X G a))

$\neg (b\wedge X (b \wedge X G a))$

— マークReitblatt

あなたは正しい、私は新しい答えを書いた:) LOL、私は理論的なcsでLTLには次の演算子がないことを思い出した:)

— antti.huima

これでうまくいくと思います。

— デイブクラーク

うまくいくと思う。

— マークReitblatt

この答えは満足のいくものではありません。OPは移行システムを求めていましたが、答えは言語に関するものであり、Buchiオートマトンと

通常言語の観点から正当化されていますが、これらは参照テキストにはありません。

ω

$\omega$

— マークReitblatt