型付き/型なしラムダ計算の分類

誰でも簡単に説明できますか（可能な場合！）、参照を参照して、型なしラムダ計算とより一般的な型付きラムダ計算の違いを要約できますか？

特に、表現力、論理/算術システムまたは計算方法との同等性、および該当する場合はプログラミング言語との類似性のステートメントを探しています。

私は確かに読むつもりですが、計算とその等価性/相違/階層内の場所の概要を示す参照表のようなものは、それらを整理するのに役立つ巨大な参照になります。

以下が正しいとは言わず、少なくとも出発点（または修正するもの）として役立つかどうかを見なければならない印象のいくつかを一緒にスケッチしようとしています

型なしラムダ計算-eq。一次論理へ-Xは実行できません

単純にラムダ計算を入力-eq to ...ロジック、Lispに関連？

「多態性」ラムダ計算-など

構造の計算-直観主義の論理？

組み合わせロジック-??? 型付きラムダ計算、APL / J言語に関連

これがラムダキューブとその3つの軸に結び付けられている場合は、さらに良くなります。

私はラムダ計算の基礎と関数型言語を使ったプログラミングに精通していますが、関与した型システムとラムダ（およびpi？）計算の異なるフレーバーに頭を包んだり、重要な接続を行ったことは一度もありません。

私がこれを研究しようとすると、私は助けることができませんが、多くのブラウザタブを開き、非常に多くの方向に分岐し、私はそれらのいずれにも深く入り込むことはありません！

私が求めているものが合理的かどうかはわかりませんが、少なくとも私が探しているものを説明できる読書を提案するのに十分な絵を描いたことを願っていますか？

あなたのテーブルは少し混乱しています。ここがより良いものです。

• 型なしラムダ計算-Andrejが指摘するように、論理的な解釈はありません
• 単純型付きラムダ計算-直観主義命題論理
• 多相ラムダ計算-純粋な2次論理（つまり、1次数量詞なし）
• 依存型-一次論理の一般化
• 構造の計算-高階論理の一般化

型依存性は、証明を定量化できるオブジェクトに変換するため、1次定量化よりも一般的です。通常の直観主義的なFOLに対応するラムダ計算が存在しますが、特別な名前を付けるほど広く使用されていません-人々は依存型に直行する傾向があります。

また、計算の構文形式を論理システムに関連付けることもできます。

• 結合子計算（たとえば、SKI結合子）-ヒルベルトスタイルのシステム
• A-normal form-シーケント計算
• 通常の型付きラムダ計算-自然な推論

$\lambda$$\lambda$$\lambda$nat$\lambda$$0$$T$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$$\lambda$Ulambda : U -> (U -> U)gamma : (U -> U) -> U$\lambda$$\mathbb{U}$$\lambda$$\mathcal{C}$$\mathbb{U}$$\mathbb{U}$$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$$\mathbb{U} \cong \mathbb{U}^{\mathbb{U}}$

参照：

• ダナS.スコット： " ラムダ計算：いくつかのモデル、いくつかの哲学 "、論理の研究と数学の基礎、101巻、1980年、223-265ページ、Kleeneシンポジウム

• Hendrik Pieter Barendregt： " ラムダ計算：その構文とセマンティクス "、Elsevier、1984年。

このことに関するかなり包括的な議論は、この本で見つけることができます：カレー・ハワード同型に関する講義。これは、無料で入手できる古いバージョン「カレーハワード同型に関する講義」に基づいています。