最小フリップ接続の問題

今日、GPSで遊んでいる間に次の問題を作成しました。ここにあります ：

LET、このような場合に有向グラフであり、次に、すなわち、、基礎となる無向グラフの向きです。次の操作を検討してください。E = （U 、V ）∈ E （V 、U ）∉ E $G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• $Flip(u,v)$：エッジをエッジ置き換えます（v 、u $(u,v)$$(v,u)$
• $undirect(u,v)$：エッジ無向にします$(u,v)$

してみましょう二つの特別な頂点こと。次の最適化の問題を考慮してください。$s,t \in V$

• Min-Flip st-connectivity：と2つの頂点を指定すると、からtへの有向パスを作成するために反転する必要があるエッジの最小数を見つけます。s 、t $G$$s,t$$s$$t$
• Min-Flip strong-connectivity：が与えられた場合、Gを強く接続するために反転する必要があるエッジの最小数を見つけます。エッジを反転してGを強く接続することができない場合は、NOを出力します。$G$$G$$G$
• Min-undirect strong-connectivity：が与えられた場合、Gを強く接続するために無向にする必要があるエッジの最小数を見つけます。$G$$G$

「新しい」エッジを追加できないことに注意してください。上記の操作を使用して既存のエッジのみを変更します。この問題は文献で知られていますか。もしそうなら、既知の結果は何ですか？

要約：問題は、最小コストの強連結方向を見つけることにより、多項式時間で解決できます。

詳細：ロビンの定理は、無向グラフが2辺連結である場合にのみ、結果の有向グラフが強く連結されるように無向グラフの辺を方向付けできることを示しています。いくつかの拡張があり、そのうちの1つは多項式時間サブモジュラーフローアルゴリズムを使用して、多項式時間で次の問題を解決できると言います：強く結び付けられたグラフ。たとえば、フランクの論文を参照してください。より新しいアルゴリズムは、岩田と小林によって提供されます。

この結果は、提起された問題を解決するのに役立ちます。最初の問題は、Tomekが提案した方法で解決できます。したがって、他の問題に集中します。

2番目の問題では、Tomekと同じエッジ重み付きグラフの構築を使用し、多項式時間で最小コストの強く接続された方向を見つけます。

3番目の問題では、各エッジに両方向を許可するために、各エッジを複製し、同じ構造と同じアルゴリズムを適用します。複製されたエッジに同じ方向を使用しても、強い連結性には影響しないため、これは有効な削減です。

これは、最初の問題の答えです。
新しい重み付きグラフ考えます。ここで、E ′ = { （u 、v 、0 ）| （U 、V ）∈ E } ∪ { （V 、U 、1 ）| （U 、V ）∈ E }（内にあるすべてのエッジの重み$G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$は0で、「反転」エッジの重みは1）です。これで、からtへの最短パスを見つける必要があります。$s$$t$

決定問題を「最大エッジでフリップする必要があるstパスはありますか？」と表現した場合、最小フリップst接続はNL完全です。それはのための特別なケースとして、STの接続が含まれているので、それはNL-難しいのk = 0、そしてあなたがからのパスを推測することができますので、それはNLでだのにトン一部反転したエッジを使用し、一度にそれを一つのエッジを横断し、するカウンタを維持します超えないことを確実にk個のエッジが後方に横断されていません。$k$$k=0$$s$$t$$k$

私の最近の本「Connections in Combinatorial Optimization」（Oxford University Press、2011）では、中心的なテーマは、上記で説明したバリエーションを含むグラフの向きの問題です。2kエッジ接続グラフのエッジはkエッジ接続の向きであることが知られています（これはナッシュウィリアムズの定理です）。グラフが2kエッジ接続でない場合、エッジの特定のサブセットFが良いかどうかを判断することに興味があります（Fには、結果の混合グラフがkエッジ接続されるような方向があるという意味で）。この本では、この問題を多項式時間でどのように解決できるかを説明しました。しかし、最小カーディナリティーの良いセットを見つける方法はわかりません。

アンドラス・フランク

Min-Flip st-connectivity Base：s（T）から到達可能なすべての頂点を計算します。tがTストップにある場合。帰納的：1回のフリップでTに隣接しないTにないすべての頂点を考慮して、このUを呼び出します。Uから到達可能な頂点を計算し、このVを呼び出します。tがV停止の場合、TにVを追加して続行します。

Min-Flip強い接続性A-> Bに問題があるため、間接的な意味である必要があります