有界係数を持つ積の合計

次の補題は証明するのが難しくありません。

補題：およびます。場合はなるように（そのうちのいくつかが負かもしれない）の整数である、その後、整数ようにを満たす。ここで、は、いくつかの正の定数に対するを意味し。 $c_1 \neq c_2 \neq \dots \neq c_r \in [n]$ $k \in [n]$ $m_1, m_2, \dots, m_r$ $m_1c_1 + m_2c_2 + \dots + m_rc_r = k$ $\exists$ $m'_1, m'_2, \dots,m'_r$ $m'_1c_1 + m'_2c_2 + \dots + m'_rc_r = k$ $|m'_1|+|m'_2|+\dots+|m'_r| \leq poly(n)$ $poly(n)$ $n^c$ $c$

上記の補題はよく知られていると思います。上記の補助定理の参照と可能な限り最適な範囲を探しています。 $poly(n)$

reference-request nt.number-theory

— シヴァ・キンタリ
ソース

MathOverflowでクロスポスト：mathoverflow.net/questions/58034/...

— シェンロン-志チャン張顯之

によって得ることができるバインドBézoutの補題： $O(n^2 \log r)$

$0 < c_i \leq n$ $\gcd(c_1,\ldots,c_r) = \sum_i m_i c_i$ $m_i$ $|m_i| \leq n \log r$

この補題は、2つの変数と同一性ベズーの補題を再帰的に適用することによって得られます。 $\gcd(x_1,x_2,x_3) = \gcd(\gcd(x_1,x_2),x_3)$

一般性を失うことなく、を両側でを除算することによって仮定します。ベズーの補題により、整数が存在しますなど $\gcd(c_1,\ldots,c_r) = 1$ $\gcd(c_1,\ldots,c_r)$ $\sum_i m_i c_i = k$ $m_i$ $|m_i| \leq n \log r$

k \cdot \sum_{i} m_{i} c_{i} = \sum_{i} (k \cdot m_{i}) c_{i} = k \cdot 1,

$k \cdot \sum_i m_i c_i = \sum_i (k \cdot m_i) c_i = k \cdot 1 \text,$

を観察することにより、目的の得られ。 $k = O(n)$ $m'_i = k \cdot m_i$ $|m'_i| = O(n^2 \log r)$

文献を検索する場合、キーワードは不均質な線形ディオファントス方程式です。つまり、方程式場合）です。同次の場合、線形境界を取得できます、例えば、これまたはこの論文を参照してください。不均質なものに関しては、私はまだそのような結果を見つけていません。ただし、このペーパーは関連があるようです。 $\sum_i m_i c_i = k$ $k = 0$ $|m_i'|$

— Hsien-Chih Chang張學之
ソース

はい。私はを持っています。それがことが知られているのではないかと思っています。

p o l y (n) = O (n^{3})

$poly(n) = O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Shiva Kintali、2011年