この言語はO（n log n）の3つの記号TMで認識できますか？

私は非常に興味深く、未解決の質問である「シングルテープチューリングマシンのアルファベット」（Emanuele Violaによる）で遊んでいて、次の言語を思いつきました。

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

ここでは、文字列xのの数です。 $count1(x)$ $1$

たとえば、x = 01101111の場合、n = 8、m = 3、k = 2、これ $x \in L$

L単一テープと3つのシンボルアルファベットとチューリングマシンによって認識することができるで手順を？ $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

4つの記号を使用すると、答えは「はい」になります。

確認する交換とSをととS と同時に店で右のS。 $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
次に、を法とするの数を数え。 $2$ $m$ $O(n \log{n})$

例えば：

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— マルツィオデビアシ
ソース

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

x \in L

$x \in L$

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

次の変更を加えて、4つのシンボルの場合と同じ考え方を使用できません。

シンボルのペアを常に同時に処理します。
$(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
「mod 2」のステップにも同様のトリックを使用します。

$O(1)$

— ジュッカスオメラ
ソース

あなたが正しい！...今、私はエマヌエーレの質問に対する答えはイエスだと思います...しかし、それはまだ開かれているので、正式に証明するのはそれほど簡単ではないでしょう:-(ありがとう！

— Marzio De Biasi