多項式の予想時間の解法にNP完全問題はありますか？

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予想される実行時間が多項式であるというアルゴリズムが知られているNP完全な問題はありますか？

そうでない場合、そのようなアルゴリズムの存在が確立されている問題はありますか？

または、そのようなアルゴリズムの存在は、決定論的多項式時間アルゴリズムの存在を暗示していますか？

cc.complexity-theory np-hardness

— スティーブクローン
ソース

6

私は質問が何であるかをよく理解していません。NP困難問題の平均ケースの結果を求めていますか？それとも、予想される多項式時間の最悪ケースでNP困難問題を解決できるかどうかを尋ねていますか？

— モリッツ

2

「予想実行時間」とはどういう意味ですか？入力のランダムな分布（ほとんどの回答が考えるように見える）、またはアルゴリズムで使用されるランダムなビットの分布（ランダム化されたアルゴリズムの通常の意味）、またはその両方を期待していますか？

— ジェフ

@Moritz：NP困難問題の平均ケースの結果について尋ねています。予想される多項式時間で最悪の場合にNP困難な問題を解決することは、私にとってさらに強力な結果のように思えるので、そのような結果にも興味があります。@JeffEインスタンス間での分布について予想される時間について話しています。アルゴリズムがランダム化されている場合は、ランダムビットも同様に期待されます。しかし、私の質問は主にランダム化アルゴリズムに関するものではありません。

— スティーブクローン

3

単純なパディング手法を使用すると、あらゆる問題からこれらを構築できます。

仮定ある必要-Complete言語解決するための時間を。次いでせ $L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$ をそして次のように解決される：最初れた入力文字列が文字の偶数を有するかどうかを線形時間アルゴリズムチェックある。そうでない場合、拒否します。それ以外の場合は解き

K = {1^{n} バツ | ‖ バツ ‖ = n そして バツ \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$ 。場合ランダムに一様に描かれ、解決する期待時間ある

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

$K$ は完全です。からの削減は次のとおりです $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} バツ

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— Lieuwe Vinkhuijzen
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13

ランダムグラフ上でハミルトニアンサイクルを見つけるための多項式時間アルゴリズムがあり、ハミルトニアンサイクルが存在するのと同じ確率で漸近的に成功します。もちろん、この問題は最悪の場合NP困難です。

また、入力分布がすべての頂点グラフのセットで一様にランダムである場合、ハミルトニアンサイクルが存在する場合は常に検出されることが保証される動的プログラミングアルゴリズムには、多項式の予想実行時間があります。 $n$

参照：「ランダムグラフでハミルトンサイクルを見つけるためのアルゴリズム」

ボロバス、フェナー、フリーズ

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— アーロン・ロス
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10

良い平均ケースアルゴリズムの存在が良い最悪ケースアルゴリズムの存在を暗示しているかどうかに関する最後の質問について：これは、暗号作成者にとって特に興味深い主要な未解決の質問です。暗号化には平均して困難な問題が必要ですが、暗号作成者は可能な限り最小の仮定に基づいて構造を構築したいと考えているため、平均ケースの硬度が最悪ケースの硬度に等しいと思われる問題を見つけることは非常に興味深いです。

いくつかの格子の問題は、このような最悪ケースから平均ケースの削減があることが知られています。たとえば、Ajtaiによる格子問題のハードインスタンスの生成、およびMicciancioによる調査記事を参照してください。

— イアン
ソース

9

基本的に、変数とランダムに選択された制約の最大2-CSPは、予想される線形時間で解決できます（結果の正確な定式化については、以下のリファレンスを参照してください）。インスタンスの制約グラフの最大次数が最大3であり、平均を減らすためにダミー変数を追加できる場合、節の数が変数の数と等しい場合、Max 2-CSPはNPの困難なままであることに注意してください2度 $n$ $n$

参照：

アレクサンダー・D・スコットとグレゴリー・B・ソーキン。Max CutおよびMax 2-CSPのまばらなランダムインスタンスを線形の予想時間で解決します。櫛。プロバブ。Comput。、15（1-2）：281-315、2006。プレプリント

— サージガスパー
ソース

2

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

@Bart：質問を誤解したかもしれません。線形数の節を持つMax 2-CSPはNP困難であると主張しますが、ランダムインスタンスに対してこの問題を解決する予想線形時間を持つアルゴリズムが存在します。

— サージガスパー

基本的に、私があなたの議論を正しく理解していれば、基礎となるグラフ上の分布G（n、c / n）を備えたMax 2-CSPは予想される線形時間で解くことができると言っています。分布が私にとって完全に「賢明」または「自然」ではないという点でバートに同意しますが、それは私の質問に適切に答えると思います。

— スティーブクローン

@スティーブ：同意します。

— サージガスパー

7

これはあなたの質問に完全に答えるわけではありませんが、3-SATのランダムなインスタンスの結果を調査するには、次のように表示できます：www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

通常、「賢明な分布」が本当に意味するものを定義することは困難です。あなたはボグダノフとTrevisanによって「平均タイムの複雑さ」調査でこれについてもっと読むためにこのリンクをたどることができます：http://arxiv.org/abs/cs/0606037を。

— グリゴリー・ヤロスラフツェフ
ソース

リンクをありがとう。残念ながら、3-SAT論文の「高い確率で」の結果は、（私の知る限り）クエリを確認するほど十分に強力ではありません。私は「賢明な分配」が毛深いことになることに同意します。分布は明らかに選択されていない場合は、「効果的なインスタンス空間」は、単にP.であることが知られているいずれかに問題が低下しないように、この中で、私はそれを好むだろう

— スティーブ・クルーン

5

「予想される多項式時間でのランダムグラフの色付け」、Amin Coja-OghlanおよびAnusch Taraz

$G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— ジョエル・リビッキ
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