NPの完全な問題の結果はcoNPと交差します

完全な問題があるとどうなりますか？$NP\cap coNP$

これは（広く）未解決の問題です。のように、ほとんど何も知りません。具体的には、理由でtrickinessの証明 -complete問題を、我々は現在存在とは非常に異なる証明技術を必要とします。そのため、結果の議論には、「このような強力で新しい証明手法を持つとはどういう意味ですか？」という接線を合理的に含める必要があります。$NP \cap coNP$

このトピックに関する比較的最近の議論については、2007年からのアルゴリズムに関するACMトランザクション（PDF）にDavid Johnsonの第26回NP完全性コラムがあります。完全な問題の存在を証明する問題に関してデイビッドが言ったことのいくつかを言い換えさせて、私の考えを追加してください：$NP \cap coNP$

現在、メンバーシップには「弱い」自然な候補しかありません。メンバーシップの最も強力な証拠は、それらの多項式時間アルゴリズムをまだ見つけられていないという意味です。彼はいくつかの候補者をリストしています：小さい要因、簡単な確率的ゲーム、および平均ペイオフゲーム。これらの問題の余分な「すごみ」のいくつかは、それらを解決するための最良のヒューリスティック実行時間から来て、例えばSMALL FACTORは、INTEGER FACTOR別名、の無作為化時の複雑さがある。（に完全な問題が存在する場合、そのような部分指数（純粋に指数関数でも完全多項式でもない）$NP \cap coNP - P$≤ k個のP O LのY （N ）2 √$\le k$$poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$$NP \cap coNP - P$クラスのランタイム固有種？）

だから、具体的には、私たちが何かを証明したいと思う：Aのみである問題 IFF、すなわちA完全3SATとクックの定理のような結果。以下のためには、そのような証拠は普遍的多項式時間の削減を伴う（とお気に入りの、追加の制限、例えばクック・削減、カープ-削減を修正します）。その結果、多項式時間削減手法では、クラスの多項式時間で認識可能な表現が存在する必要があります。以下のために、我々は、非決定性チューリングマシンを使用することができる多項式内の停止$P$$NP \cap coNP = P$$NP$$NP$$NP$$p(|x|)$、ステップ数。ダビデが指摘するように、我々のような他のクラスについても同様の表現（状態がより明らかである場合）はと＃。$PSPACE$P$P$

ただし、同様の表現を提供することの難しさは、「自然な」類似体によって表現内に停止問題を埋め込むことができるため、決定できないことです。つまり、を、補完的な言語を認識するとされる2つの非決定論的なチューリングマシンで表すための次の試みを検討してください。$NP \cap coNP$N P ∩ C O N P$NP \cap coNP$

質問：チューリングマシンは入力停止しますか？$M^*$$x \in {0,1}^n$

次のように、2つの線形時間チューリングマシンおよびを構築します。入力、は入力を読み取り、常に受け入れます。はない限り常に拒否します およびは、ステップを受け入れます 。$M_1$$M_2$$y$$M_1$$M_2$$|y| \ge |x|$$M^*$$x$$\le |y|$

したがって、と補完的な言語受け入れるIFF入力で停止しません。したがって、矛盾により、2つの多項式時間チューリングマシンが補完言語を受け入れるかどうかを決定することは決定できません。$M_1$$M_2$M ∗ x $M^*$$x$

したがって、問題の「自然な」表現は、多項式時間では認識できません。問題は残っています：問題を多項式時間で認識できるようにどのように表現しますか？$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$

この問題に関する重要な作業は行われていませんが、完全性を証明するためには、その成功した解決が必要です。したがって、私は完全に解決することができる証明技術の存在と主張のない「自動」の結果-ここに大きな話になります、おそらく-complete問題（例えば、複雑クラス、崩壊）既に認識している（または、将来、仮想的に認識します）。$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$