ブール回路をブール式に変換する複雑さ

ブール回路を考えると上（だけではない使用する、ANDとORゲート）の変数、回路によって表されるブール式を抽出するための最も効率的な方法は何ですか？この問題のポリタイムアルゴリズムはありますか？ $C$ $n$

cc.complexity-theory time-complexity boolean-functions

— ニキル
ソース

回路にはどのような種類のゲートがありますか？

— Lev Reyzin

ファンインまたはファンアウトにはどのような制限がありますか？それが単一のファンアウトである場合、それは取るに足らないことです：回路自体は本質的に数式のASTです。

— Mark Reitblatt、2011

一般的に制限されたファンイン。しかし、正確には、ANDとORがファンイン2であるとしましょう。文献の多くの参考文献では、回路と式が交換可能に使用されていることがわかりますが、回路を式に変換するのが簡単かどうか知りたいです問題。

— Nikhil、2011

一般に、小さな回路でも同等の数式は指数関数的になる可能性があると予想されます。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

多項式サイズ式は、と等価である

回路。Polysize回路（

）と同等であると知っているれていない

。式と回路は、通常、回路の深さが制限されている場合に互換的に使用されます。

N C^{1}

$NC^1$

P / p o l y

$P/poly$

N C^{1}

$NC^1$

— カヴェ

$(v\leftrightarrow\phi)$ $v$ $\phi$

$x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_3$ $v_1$ $v_2$ $v_3$

(v_{1} \leftrightarrow (x_{1} \land x_{2})) \land (v_{2} \leftrightarrow (x_{2} \land x_{3})) \land (v_{3} \leftrightarrow (v_{1} \lor v_{2})) \land v_{3} .

$(v_1\leftrightarrow(x_1\land x_2))\land (v_2\leftrightarrow(x_2\land x_3))\land (v_3\leftrightarrow(v_1\lor v_2))\land v_3\,.$

コーメン他によるアルゴリズムの紹介。これについては、NP完全性の章で詳しく説明しています。

— マグナスリーヘットランド
ソース

CIRCUIT-SATはファンアウト1ゲートを使用していませんか？

— Mark Reitblatt、2011

確かに———————————————私が見る限り、縮小/変換には影響しません。各出力を新しい変数として表すという考えは、各出力を入力として何度も再利用できることを意味します（任意の大きなファンアウトに対応）。言い換えれば、この回答で与えられたソリューションは任意の回路で機能するはずです。

— Magnus Lie Hetland、2011

私の推測では、これは求められていることではありません。必要なのは、回路と同じ変数のセットで数式を作成することです。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

うーん。はい、あなたはおそらく正しいです。新しい変数の導入は、CIRCUIT-SATからCNF-SATの場合には意味がありますが、より一般的な設定では意味がありません。

— Magnus Lie Hetland、2011

C

$C$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$