交差比較によるセットの検索

以下の問題が最近私の研究から明らかになりました。この問題が以前に検討されたかどうか、または関連する可能性があることを聞いたことがあるかどうか誰かに知ってもらいたいと思います。

一般的な設定は次のとおりです。我々は、与えられた$F$のファミリー$t$の-subsets $\{1, 2, ..., n\}$、いくつかのパラメータのために$t$（Iほとんどの場合に興味$t=\lfloor n/2\rfloor$）。Sで示される$F$で1つのセットを選択する敵がいます。私たちの仕事はSが何であるかを見つけることです。これを行うには、F内の任意の2つのセットを敵に送信することが許可されます（AとBなど）。$S$$S$$F$$A$$B$そして敵の意志の出力$A$の場合$|A\cap S|\geq |B\cap S|$そして、$B$の場合$|B\cap S|\geq |A\cap S|$。なお、もし$|A\cap S|=|B\cap S|$その後、攻撃者は$A$または出力できます$B$。

セットのすべてのペアを比較すると、$S$は、クエリを送信するときに常に敵から返される唯一のセットであるため、問い合わせることができるクエリの数を気にしない場合、この問題は簡単に解決できます$(S, B)$、任意の$B\neq S$。ただし、私たちの目標は、クエリの数を最小限に抑えることです。

私の目標は、$O(poly(n))$クエリを使用してこの問題を解決できること、または超多項式のクエリ数が必要であることを示すことです。Iは、特に場合に興味$F$全てのセットである$\lfloor n/2\rfloor$の-subsets $\{1, ..., n\}$。

関連するものへのポインタはいただければ幸いです。

これは、天秤を使って偽造コインを見つけるという有名なパズルのバリエーションです。しかし、それに進む前に、まず問題を解決しましょう。問題を解決する手法は、偽造コイン問題との関連を確認するのにも役立つためです。

まず、クエリセットAとBがファミリーFからのものである必要がないと仮定します。その後、集合見つけることができるSを高々ことにより、は次のようにクエリします。メイククエリ（{}、{B}）1≤用<B≤N。各要素は、その音符I∈{1、...、N}がで使用されるN-1クエリ。要素場合iがに属しS、その後集合は{私は相手がに属していない場合}少なくとも応答されるS、従って組は{Iは}少なくとも答えているN-Tの時間。要素の場合$\binom{n}{2}=O(n^2)$$\binom{n}{2}$私に属していないS次いで集合は{ iは }相手が属する場合に答えることができないS、従ってセットは、{ iは }最もに応答されるN - T -1倍。したがって、各セットの回答回数を数えると、セット全体Sを決定できます。

これには、ファミリーF以外のクエリセットが必要ですが、これは問題では許可されていません。しかし、両側に同じt −1要素を追加することでこれを回避できます。たとえば、クエリ（{1}、{2}）を作成する代わりに、クエリ（{1,3,4、…、t +1}、{2,3,4、…、t +1 }）。したがって、この問題はO（n ²）クエリで解決できます。

楽しい部分が始まります。1、…、n、およびtのラベルが付いたn個のコインが偽造であり、実際のコインよりわずかに重いと考えてください。すべての偽造コインは同じ重さです。残高のみをpoly（n）回使用して、偽造コインtのラベルのセットSを見つける必要があります。天びんを使用するたびに、最大で{{ t、n − t }のコインを天びんの両側に置くことができます。バランスがわずかに不正確であるのは、2つのサイドの重量が同じである場合、どちらかのサイドが（逆に）低下する可能性があるという意味です。ご覧のとおり、これは質問とまったく同じ問題です。

編集：リビジョン4以前では、偽造コインパズルへの正確な接続に何らかのエラー（エラー）がありました。

...ええと...私は多項式アルゴリズムを理解しようとしています...まだそれに取り組んでいます...しかし、勝つことができない場合があるので、問題はよりよく再定式化されるべきだと思います（少なくともFがすべてのサブセットのファミリーである場合）

例えば：

Let n=3

F={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}

Queries     S={1}    S={1,2}
{1}>={2}      T      lie
{1}>={3}      T       T
{2}>={1}      F      lie 
{2}>={3}     lie      T
{3}>={1}      F       F
{3}>={2}     lie      F
{1}>={2,3}    T      lie
{2}>={1,3}    F      lie
{3}>={1,2}    F       F
{2,3}>={1}    F      lie
{1,3}>={2}    T      lie 
{1,2}>={3}    T       T

あなたが見ることができるように- 敵がキツネである場合 -彼は、2つの列がそう溶液区別する方法がない等しくすることができと溶液S = { 1 、2 }も指数と....はクエリの数。$S=\{1\}$$S=\{1,2\}$

そして、家族Fを制限しても、不可能なゲームに「落ちる」ことができると思います。たとえば、例のFの1つ以上のセットのどこかに要素追加しても、キツネは殺されません :-)））$4$

それは、通常は多項式であるが、NP完全な静的バージョンを持つマスターマインドゲームのバリアントのように見えます（証明を参照）。

...オリジナルのマスターマインドゲームは、長さN = 4およびK = 6の色のペグのシーケンス用の穴を持つボードゲームとして、1970年にMeirowitzによって発明されました。その後、Knuth（1）は、首謀者ゲームのこのインスタンスは5回以下の推測で解決できることを示しました。Chv´atal（2）は、一般的な首謀者の組み合わせ論を研究し、K> = Nの場合、多項式時間で解けることを示しました。StuckmanとZhang（3）は、一般的なダブルカウントの首謀者における一連の推測と応答は満足できるものです。...

（1）D.クヌース。マスターマインドとしてのコンピューター。Journal of Recreational Mathematics、9：1–5、1977。

（2）V. Chv´atal。首謀者。Combinatorica、3（3/4）：325–329、1983。

（3）J.スタックマンとG.-Q. 張。Mastermindはnp-complete 2005です 。http：//arxiv.org/abs/cs/0512049。