量子の順序を逆にする手法

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一般に、普遍的数量詞と実存的数量詞の順序を逆にすることはできないことはよく知られています。つまり、一般的な論理式場合、 $\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

一方、右側は左側よりも制限が強いことがわかっています。つまり、 $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ 。

この質問は、が成り立つときはいつでもを導出する手法に焦点を当てて $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ います $\phi(\cdot,\cdot)$ 。

対角化はそのような手法の1つです。私は第1用紙に対角のこの使用を参照のRelativizations $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ 質問（参照カッツによって短い音符を）。その論文では、著者は最初に次のことを証明します。

決定論的な多項式時間オラクルマシンMには、ような言語Bが存在します $L_B \ne L(M^B)$ 。

次に、対角化を使用して数量詞の順序を逆にして、次のことを証明します。

すべての決定論的な Mに対してを持つような言語Bが存在します。 $L_B \ne L(M^B)$

この手法は、[CGH]や[AH]などの他の論文で使用されています。

[IR]の定理6.3の証明で別のテクニックを見つけました。計量理論と鳩の巣原理の組み合わせを使用して、数量詞の順序を逆にします。

普遍的および実存的数量詞の順序を逆にするために、コンピューターサイエンスで使用されている他のテクニックを知りたいですか？

lo.logic big-picture proof-techniques

— MS Dousti
ソース

14

うわー、これは素晴らしい質問です。それを読んだだけで、「馴染みのある」オブジェクトを違った見方にした。ありがとう！

— マークReitblatt

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数量詞の反転は、よく知られている定理の背後にあることが多い重要な特性です。

たとえば、分析では違いおよびは、点連続性と均一連続性の差です。よく知られた定理は、ドメインが素晴らしく、つまりコンパクトであれば、すべてのポイントワイズ連続マップは一様に連続していると言います。 $\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$ $\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

実際、コンパクト性は数量詞の反転の中心にあります。が明白で、がコンパクトな2つのデータ型とを考えて（これらの用語の説明については以下を参照）、をと間の半決定可能な関係とします。ステートメント、次のように読み取ることができる：すべての点でいくつかによって覆われ。セットは「計算可能にオープン」（半決定可能）であり、 $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\phi(x,y)$ $X$ $Y$ $\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$ $y$ $Y$ $U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$ $U_x$ $Y$ コンパクトで有限のサブカバーが存在します。ことを証明しました、意味し多くの場合、有限リストを1つの減らすことができます。たとえば、直線的に注文しているで単調である順序に関しては、我々が取ることができる最大の一つであることが。

\forall y : Y . \exists x : X . ϕ (x, y)

$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$

\exists x_{1}, \dots, x_{n} : X . \forall y : Y . ϕ (x_{1}, y) \lor \dots \lor ϕ (x_{n}, y) .

$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1, \ldots, x_n$

x

$x$

X

$X$

ϕ

$\phi$

x

$x$

x

$x$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1, \ldots, x_n$

おなじみのケースでこの原理がどのように適用されるかを見るために、が連続関数であるというステートメントを見てみましょう。外側の普遍的な数量詞について混乱しないように、を自由変数として保持しので、コンパクトであり、実数の比較は、文semidecidableあるは半決定可能です。正の実数は明白であり、はコンパクトなので、原則を適用できます。 $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ $\epsilon > 0$

\forall x \in [0, 1] . \exists δ > 0 . \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ .

$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$

[x - δ, x + δ]

$[x - \delta, x + \delta]$

ϕ (x, δ) \equiv \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ

$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$

[0, 1]

$[0,1]$

\exists δ_{1}, δ_{2}, \dots, δ_{n} > 0 . \forall x \in [0, 1] . ϕ (δ_{1}, x) \lor \dots ϕ (δ_{n}, x) .

$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$ 以来でantimonotoneですの最小のものすでに仕事をしていませんが、私たちは一つだけ必要：私たちが持っているのは一様な連続性です。

ϕ (δ, x)

$\phi(\delta, x)$

δ

$\delta$

δ_{1}, \dots, δ_{n}

$\delta_1, \ldots, \delta_n$

δ

$\delta$

\exists δ > 0 . \forall x \in [0, 1] . \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ .

$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$

f

$f$

漠然と言えば、データ型は、計算可能な汎用量指定子がある場合はコンパクトであり、計算可能な実存量指定子がある場合は明白です。（負でない）整数は、かどうかを半決定するために明白、と semidecidable、我々はによってparalel検索を行うdovetailing。Cantor空間は、Paul TaylorのAbstract Stone DualityとMartin Escardoの「データ型と古典空間の合成トポロジー」で説明されているように、コンパクトで明白です（検索可能な空間の関連概念も参照）。 $\mathbb{N}$ $\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$ $\phi(n)$ $2^\mathbb{N}$

あなたが言及した例に原理を適用しましょう。言語は、固定アルファベット上の（有限）単語からブール値へのマップとして表示されます。有限語は整数と計算可能な全単射対応であるため、言語を整数からブール値へのマップとして見ることができます。つまり、すべての言語のデータ型は、計算可能な同型、正確にはカンター空間nat -> bool、またはコンパクトな数学表記です。多項式時間チューリングマシンは、有限文字列であるプログラムによって記述されます。したがって、すべてのチューリングマシン（の表現）のスペースは、またはであると見なすことができます。 $2^\mathbb{N}$ nat $\mathbb{N}$

チューリングマシンと言語与えられた場合、「言語はによって拒否されます」というステートメントは、実際に決定可能であるため、半決定可能です。入力を実行し、します。私たちの原則の条件は満たされています！「すべてのオラクルマシンには言語があり、が受け入れられない」という文は、として記号で記述されてい数量詞の反転後、 $M$ $c$ $\mathsf{rejects}(M,c)$ $c$ $M$ $M$ $c$ $M$ $b$ $b$ $M^b$

\forall M : N . \exists b : 2^{N} . r e j e c t s (M^{b}, b) .

$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$

\exists b_{1}, \dots, b_{n} : 2^{N} . \forall M : N . r e j e c t s (M^{b_{1}}, b_{1}) \lor \dots \lor r e j e c t s (M^{b_{n}}, b_{n}) .

$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$ わかりました、それで私達は有限に多くの言語にダウンしています。それらを1つにまとめることはできますか？私はそれを演習として残します（自分とあなたのために！）。

また、を変換する方法についての少し一般的な質問にも興味があるかもしれませんをという形式の同等のステートメントにまたはその逆。これを行うにはいくつかの方法があります。例えば： $\forall x . \exists y . \phi(x,y)$ $\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

— アンドレイ・バウアー
ソース

4

これは非常に一般的な条件です（1つのスペースは明白で、もう1つはコンパクトで、関係が開いている必要があります）が、テクニックでもあります。条件を満たす条件を満たすトポロジを見つけることができる場合は、数量詞を反転できます。

— アンドレイバウアー

8

@Andrej、あなたの答えは本当に良くて教育的です。この投稿が表示されるまで、コンパクト性と反転数量詞の間に関係があることは知りませんでした。悟りを感じます

— Hsien-Chih Chang張顯之

8

なんて素晴らしい答えでしょう。

— スレシュVenkatさん

10

私はお世辞を感じます。ロジック、計算、トポロジ間の密接な関係についてもっと多くの人に知ってほしい。

— アンドレイバウアー

6

@Andrej：「論理、計算、およびトポロジ間の密接な関係」に関する良い参考文献（特に本または講義ノート）はありますか？

— MS Dousti

25

Impagliazzoのハードコアセット補題により、計算困難性の前提のコンテキストで数量詞を切り替えることができます。これが元の紙です。グーグルで関連する論文や投稿をたくさん見つけることができます。

補題があればと言っているすべてのためのアルゴリズムA が存在する Aは、固定された関数fを計算するために失敗した上での入力の大規模なセットは、その後、実際には存在した上での入力の大規模なセットごとにアルゴリズムが1に近い確率でfを計算するために失敗します/ 2。

この補題は、最小-最大定理またはブースティング（計算学習理論からの手法）を使用して証明できます。これらは両方とも、切り替え数量詞の例です。

— マヌ
ソース

3

それは素晴らしい点です。

— スレシュVenkatさん

17

私にとって、Karp-Lipton定理の「正準」証明（）にはこのフレーバーがあります。しかし、ここでは、数量詞が逆になる実際の定理文ではなく、に小さな回路があるという仮定を使用して、交互計算のモデル内で「数量子」が逆になります。 $NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$ $NP$

フォームの計算をシミュレートしたい

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

ここで、は多項式時間の述語です。あなたが小さい回路推測することによってこれを行うことができる変更する、充足（例えば）のために、それ自体をチェックし、その入力が充足され満足割り当てを生成するようになっています。次に、すべての、と同等のSATインスタンスを作成し、それを解きます。したがって、フォームの同等の計算を作成しました $R$ $C$ $C$ $y$ $S(x,y)$ $(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ はに従って満たされます。 $C]$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

素晴らしい！これは、仮定に基づく数量詞の切り替えの例です。

— MS Dousti

これは完全に正しいですが、NPがP / polyと等しくなることはないため、代わりに記述することをお勧めします。

N P \subset P / p o l y

$NP \subset P/poly$

N P \subseteq P / p o l y

$NP \subseteq P/poly$

— MS Dousti

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確率的手法での結合限界の基本的な使用は、数量詞の順序を逆にする方法として解釈できます。ImpagliazzoとRudichによる証明がこの例であるため、これはすでに暗黙のうちに質問で言及されていますが、より明示的に述べる価値があると思います。

仮定し、Xが有限であり、それはすべてのためのx ∈ X、我々は知っているだけでなく、その一部のy ∈ Yを満たすφ（X、Y）もの多くの選択肢のy ∈ Yを満たすφ（X、Y）。正式には、私たちが知っていると仮定し（∀ X ∈ X）のPr _{のy ∈ Y} [¬ φ（X、Y）] <1 / | X | Yの確率的尺度。次いで、結合した組合は、私たちはPrを締結することができ_{、Y ∈ Y} [（∃ X ∈ X）¬ φ（X、Y（∃と等価である）<1、Y ∈ Y）（∀ X ∈ X）、φ（X、Yを）。

この引数にはさまざまなバリエーションがあります。

場合Xが無限である、我々は時々離散化することができますX上の適切なメトリックを考慮することによりXとεのそれの-netを。Xを離散化した後、上記のように結合境界を使用できます。
イベントときφ（X、Yの異なる値のため）、xは、ほぼ独立している、我々は使用することができますLovászローカル補題バインドの代わりに労働組合を。

— 伊藤剛
ソース

2

剛、これは非常に話題から外れていますが、モデレーターとして自分自身を指名する時です:)

— Suresh Venkat

10

他のいくつかのテクニックを追加したいと思います。最初の2つの手法は、普遍的および実存的数量詞の順序を逆にするためのものではありませんが、非常によく似たフレーバーを持っています。したがって、私はここでそれらを説明する機会を得ました。

平均補題：および他の多くの興味深い定理を証明するために使用されます。非公式には、はあるライブラリの購読者のセットを示し、はライブラリ内の書籍のセットを示し、およびについては、命題が真であると仮定します。は本が好きです。」平均補題は、すべてに対して、が成り立つように少なくとも2/3のが存在する場合、単一のが存在することを示します。 $BPP \subset P/poly$ $S$ $B$ $s\in S$ $b \in B$ $\phi(s,b)$ $s$ $b$ $s \in S$ $b$ $B$ $\phi(s,b)$ $b \in B$ 、の少なくとも2/3について、命題が成り立つように。（これはreductio ad abdardumとcounting argumentを介して簡単に証明できます。） $s$ $S$ $\phi(s,b)$

ここで、、およびをを決定するPPTマシンとします。の実行時間が多項式によって制限されているとします。次に、任意の、およびの少なくとも2/3である、保持する。ここで、はランダム性を使用するマシンあり、は特性関数です。次に、平均補題を使用して、任意の $L \in BPP$ $M(\cdot)$ $L$ $M$ $q(\cdot)$ $x \in \{0,1\}^*$ $r$ $r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$ $M_r(x) = \chi_L(x)$ $M_r(\cdot)$ $M$ $r$ $\chi_L(\cdot)$ $L$ $n \in \mathbb{N}$ 、単一存在、その結果の少なくとも2/3のための長さの、。この単一のに対するアドバイスとして機能するため、ます。 $r \in \{0,1\}^{q(n)}$ $x$ $n$ $M_r(x) = \chi_L(x)$ $r$ $M$ $BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

交換補題：ZachosとFürerは、新しい確率的数量詞（おおよそ「ほとんど」を意味します）を導入しました。彼らはそれを証明した（詳細は省略）： $\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

これは2次の論理定理であることに注意してください。

交換補題を使用して、BPP定理やBabaiの定理など、多くの興味深い定理を証明しました。詳細については、元の論文を参照してください。 $MA \subseteq AM$

で述べカープ・リプトン定理に似定理ライアン・ウィリアムズ：ポスト。 $coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$

— MS Dousti
ソース

Nitpicking：BPP⊆P/ polyの実際の証明には、ここに記載されているものよりも少し多く必要であることに注意してください。インスタンスの2/3部分でのみ機能するアドバイス文字列では不十分です。しかし、この答えの前半の重要なポイントは、BPP⊆P/ polyの証明は、量指定子の反転に似たものと見なすことができ、完全に有効だと思います。

— 伊藤剛

@剛：あなたは正しい。しかし、残りの証明では、入力の指数関数的に小さい部分を除くすべてに対して機能するの存在を証明するために、連続的な繰り返しとチャーノフ限界を使用します。そして、あなたが言ったように、それは量指定子の反転に関係しないので、私はそれを省いた。

r

$r$

— MS Dousti

あなたが私のポイントを得たかどうかはわかりません。私のポイントは、「平均化された補題」の声明だけでは、BPP⊆P/ polyを証明するには不十分だということです。わずかに細かい推定、つまり、max_b [Pr_sφ（s、b）]の代わりに予想確率E_b [Pr_sφ（s、b）]の推定が必要です。

— 伊藤剛

@剛：私はあなたを取得できなかったのではないかと思います。前のコメントで、最初に1/3エラーをに増幅してから、平均補題を適用することに注意しました。以下は、ゴールドライヒの本から抜粋した本格的な証明です。何か不足していますか？

2^{- | x |}

$2^{-|x|}$

— MS Dousti

ありがとう！私はあなたのコメントを誤解していた。BPP⊆P/ polyが最初に誤差を減らし、次に平均化補題を適用することで証明できることを知りませんでした（逆の順序を考えていました）。

— 伊藤剛