トポロジーソーティングのテスト/識別

個の頂点同じセット有向非グラフセットが与えられます。頂点のセット順列も与えられます。間のグラフを特定することができる最高のアルゴリズムは何であるその持っているトポロジカルソートなどを？誰かがが上のDAG トポロジカルな種類であるかどうかを準線形時間でテストできますか？ $n$ $G_1, G_2, ..., G_n$ $m$ $V$ $(v_1,v_2,...,v_m)$ $G_1, G_2, ..., G_n$ $(v_1,v_2,...,v_m)$ $(v_1,v_2,...,v_m)$ $G$ $V$

ds.algorithms graph-algorithms directed-acyclic-graph

— Hsien-Chih Chang張學之
ソース

頂点の順序が表示される前に、一連のグラフに基づいてデータ構造を構築できますか？順序付けですべてのグラフとすべてのエッジを確認する必要があるため、何らかの方法でグラフを前処理することが許可されていない限り、線形時間に勝ることはできないようです。

n

$n$

m - 1

$m-1$

— mjqxxxx

Hsien-Chih Chang、より良いソリューションを可能にする良い前処理技術は何でしょうか？ある種のハッシュ？解（確率的アルゴリズム）を近似できれば、線形時間を打つことができると思います。

— user2471 2011年

@ user2471：以前の回答で述べたように、この投稿は私ではなく

— @Steve

Hsien-Chih Changさん、申し訳ありません。私の質問はすべての人を対象としたものでした:)

— user2471

@ user2471、謝罪する必要はありません！この質問に詳しい人がいい答えを投稿してくれるといいのですが：D

— Hsien-Chih Chang張學之

回答:

これは、ほぼ線形の時間で実行できます。

順列をとし、単一のエッジをに対してチェックするために必要なステップ数とします。次に、エッジのそれぞれがと互換性があることを確認するだけで十分です。これは、時間または $\pi = (v_1,\dots,v_m)$ $k = k(\pi)$ $(u,v)$ $\pi$ $M_i$ $G_i$ $\pi$ $O(kM_i)$ 全体。 $O(k\sum M_i)$

前処理することで、エントリを含む配列でを2つのルックアップに減らすことができ $\pi$ $k$ $m$ サイズ、および配列内の2つのビットエントリ間の比較。配列要素には、順序付きリストと見なされる内ののインデックスが含まれます。これは、 $\log\, m$ $(\log\ m)$ $a[w]$ $w$ $\pi$ 得 $k = O(\log\, m)$ 上限の全体的な時間。 $O((\log\, m)\sum M_i)$

@mjqxxxxが指摘するように、すべてのグラフのすべてのエッジが関連している可能性があります。これにより、ステップの下限が作成されます。ここで、はすべてのグラフエッジに対して実行する必要がある作業の最小量です。一部のアプローチでは、 $\Omega(K\sum M_i)$ $K$ 。これは、せいぜいであるため、ギャップはほとんどありません。 $K = o(\log\, m)$ $\Omega(\sum M_i)$

— アンドラスサラモン
ソース

k = log mにするために使用できるアルゴリズム。それは接尾辞の木ですか？

— vincent mathew、2015年

簡単な方法：

GS = {G1,G2...G3}
for v in (v1,v2,...vm)
      remove all graphs from GS where indegree(v) != 0
      remove v and attached edges from remaining GS

それはあなたが望むほど速くはありません。しかし、「DAGの有効なトポロジー順序が複数存在する可能性がある」という1つの問題を解決します。そして、それらすべてを見つけることは良い考えではありません。

— プラティック・デガーレ
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