コンテキストフリーであると証明できない言語

「おそらくコンテキストフリーではない」言語を探していますが、既知の標準的なテクニックを使用して（反）証明することはできません。

このテーマに関する最近の調査や、最近の会議の未解決問題セクションはありますか？

おそらくCFであることが知られていない言語はあまりないので、もしあなたがそれを知っていれば、それを回答として投稿することもできます。

私が見つけた例は次のとおりです。

• 原始語 のよく知られている言語（それに関する素晴らしい最近の本があります：文脈自由言語と原始語）$Q = \{ w \mid w \neq u^i (|u| > 1) \}$
• 多項式の共同ドメインの基本-kの表現（質問「を参照してください多項式の共同ドメインの基本-Kの表現を-それは文脈自由である？」多分domotorpによって解決されたcstheory、上、ご覧彼プレプリント）

注：Aryehの答えで示したように、いくつかのセットの（非）有限性または（非）空性に関する未知の推測に言語を「リンク」すると、そのような言語のクラス全体を構築できます（例 は、2つの素数の和として表現できません）。このような例にはあまり興味がありません。$L_{Goldbach} = \{ 1^{2n} \mid 2n$$\}$

別の良いものは、Thue-Morseシーケンスの連続したサブワード（別名「ファクター」）のセット補数です。いくつかのコンテキストを与えるために、ジャン・バーステルは、Thue-Morse語の接頭辞の集合補数がコンテキストフリーであることを証明しました（実際にはそれよりも一般的なものです）。ただし、サブワードの対応する結果はまだ開いています。$S$${\bf t} = 0110100110010110 \cdots$T$T$

双子の素数の言語はどうですか？すなわち、自然数のすべてのペア（たとえば、単項で表されます）、は両方とも素数であり、ですか？双子素数予想が真の場合、はコンテキストフリーではありません。それ以外の場合、有限です。$L_{TP}$$(p,p')$$p,p'$$p'=p+2$$L_{TP}$

編集：双子の素数予想がが文脈自由ではないことを暗示していることを簡単に証明してみましょう。すべての言語に関連付けその長配列、整数はどこ長さの単語がある場合に限っ順に表示されますで。それはのためにそのポンプの補題（S）の結果である有界差プロパティ長配列を満たし、規則的またはCFLである：あるよう全てについて$L_{TP}$$L$0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ... ℓのℓ L L R > 0 N + 1 - N ≤ R nは $0\le a_1\le a_2\le\ldots$$\ell$$\ell$$L$$L$$R>0$$a_{n+1}-a_n\le R$$n$。数論では、素数に差が存在しないことは簡単で有名な事実です。最後に、有界差分プロパティ自体に違反するシーケンスの無限サブシーケンスは、それを違反する必要があります。