モノイドが構文モノイドがモノイドを除算するときに言語を認識するという文の一般化

してみましょう有限アルファベットなります。与えられた言語のためにL ⊆ A *構文モノイドM （L ）形式言語理論ではよく知られた概念です。また、モノイドのMは、言語認識Lを射が存在するときに限りφを：A * → MようにL = φ - 1（φ （L ）））。$A$$L \subseteq A^{\ast}$ $M(L)$$M$$L$$\varphi : A^{\ast} \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L)))$

次に、素晴らしい結果が得られます。

モノイド認識L ⊆ Aが*場合M （Lは）のsubmonoidの準同型像であるM（として書かM （L ）≺ M）。$M$$L \subseteq A^{\ast}$$M(L)$$M$$M(L) \prec M$

上記は通常の言語の文脈での状態であり、上記のモノイドはすべて有限です。

今、私たちが代わりに仮定任意のモノイドとN、そして我々は、サブセットと言うL ⊆ Nが認識されるM射が存在する場合、φ ：N → Mその結果、L = φ - 1（φ （Lは））。その後、我々はまだ場合は、その持っているMは認識してLを、その後、M （L ）≺ M（S. Eilenberg、オートマトン、機械および言語、ボリュームBを参照）、その逆保留のでしょうか？$A^{\ast}$$N$$L \subseteq N$$M$$\varphi : N \to M$$L = \varphi^{-1}(\varphi(L))$$M$$L$$M(L) \prec M$

の証明では、ある射のφ ：M → Nおよびψ ：A ∗ → NのN = φ （M ）が射である場合、ρ ：A ∗ → Mようにφ （ρ （U ））= ψ （U ）は、単に選択することによって、保持ρ （Xの）$A^{\ast}$$N = \varphi(M)$$\varphi : M \to N$$\psi : A^{\ast} \to N$$\rho : A^{\ast} \to M$$\varphi(\rho(u)) = \psi(u)$それぞれについてのx ∈ Aから射にこれを延びる A *に M。しかし、これは任意のモノイド Nでは機能しません。そのため、上記の逆はfalseになるはずです。そして、それが偽である場合、 A ∗以外のどのようなモノイドがまだ真実であり、それらのモノイドは研究文献で注目されていましたか？$\rho(x) \in \varphi^{-1}(\psi(x))$$x \in A$$A^{\ast}$$M$$N$$A^{\ast}$

はい、これらのモノイドは研究文献で注目を集めており、実際に困難な問題を引き起こしています。

定義。モノイド呼び出され射影場合、次のプロパティが保持している場合、F ：N → Rはモノイドの射であり、H ：T → Rは全射射であり、次にA射が存在するG ：N → TようにF = H ∘ G。$N$$f:N \to R$$h:T \to R$$g:N \to T$$f = h \circ g$

射影モノイドに関する長い議論は、定義4.1.33の直後の[1]にあります。特に、すべての射影有限半群がバンド（すべての要素がべき等である半群）であることが示されています。しかし、その逆は真実ではなく、有限の半群が射影的であるかどうかを決定することは実際には未解決の問題です。

[1] J. RhodesおよびB. Steinberg、有限半群の理論$q$。数学におけるSpringer Monographs。2009年ニューヨーク州スプリンガー。xxii+ 666 pp。ISBN：978-0-387-09780-0