無理な重みを持つ最大フローアルゴリズムの反例？

一部の重みが非合理的である場合、ファットパイプヒューリスティック（max-flowの2つのアルゴリズム）を使用するFord-FulkersonまたはEdmonds-Karpは停止する必要がないことがわかっています。実際、それらは間違った値に収束することさえあります！ただし、私が文献で見つけることができるすべての例[以下の参照とその中の参照]は、単一の非合理的な値のみを使用しています。共役黄金比、および有理であるか、ϕの有理倍数である他の値。私の主な質問は：$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$$\phi'$

一般的な質問：他の不合理な値はどうなりますか？

例（ただし、投稿するためにこれらすべてに回答する必要があるとは思わない-誰でも、または上記の一般的な質問に該当する他の質問への回答が興味深いと思います）：

1. 任意のなど反例一方の構築物（のかさえショーの有無）、できますか？$\alpha \in \mathbb{R}$

2. より弱く：そこの例は、不合理な値は、使用することが知られている本質的に異なるから？それは、いくつか存在する、あるαの有理倍数でないφ ' （またはより強くないQは、（φ '））と、すべての重みがにあるフォード・フルカーソン及び/又はエドモンズ-カープに反例が存在するようにQ（α ）？$\phi'$$\alpha$$\phi'$$\mathbb{Q}(\phi')$$\mathbb{Q}(\alpha)$

3. 他の方向では、不合理が存在する例えば、そのフォードフルカーソン（それぞれ、エドモンズ-カープ。）に正しい値で停止すべてのグラフの重みからのすべてであるQ ∪ { Q α ：Q ∈ Q }？（またはより強く、Q（α ）から？）$\alpha$$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$$\mathbb{Q}(\alpha)$

すべての場合において、実際のRAMモデルのようなものを想定して、正確な算術および実数の正確な比較が一定の時間で行われるようにします。

（任意の実際の重みがあっても、多項式時間で実行されることが知られている他のmax-flowアルゴリズムがあります。これが、このタイプの質問がさらに調査されなかった理由かもしれません。しかし、私の学部生アルゴリズムクラスでこれらのアルゴリズムを教えたばかりです、私はまだこれに興味があります。）

参考文献

• Ford-Fulkersonの最小限の反例はZwick TCS 1999によって与えられました

• エドモンズ・カープの反例は、キーランネまたはキーラン・マスによって与えられました。オーパー。解像度 1980年、それが最小限のものかどうかはわかりません。

• これらは両方ともジェフエリクソンの講義ノートにあり、最初のセクションは23.5節にあり、2番目は講義23の演習14です。

答えは、すべての無理数に対して、ネットワークが存在するということです。$r$

• の頂点と、M = 8つのアーク、$n=6$$m=8$
• ここで、7つの弧は整数の容量を持ち、
• ここで、1つのアークの容量は。$r$
• フォードファーカーソンが終了に失敗する可能性があります。

これは論文で証明されています

高橋俊彦：
「Ford-Fulkersonの最大フロー手順が終了しない
可能性がある最も単純で最小のネットワーク」Journal of Information Processing 24、pp 390-394、2016。
リンク：https：//www.jstage.jst.go。 jp / article / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

私は本当に自然ではないがそれでもかなり面白いと思った質問をありがとう。

フォードフェルクルソンの部分を調べたところ、反例であり、無理容量αのエッジが1つしかないグラフが見つかりました（グラフはどのαでも機能します）。

これが私の試みを要約したPDFです：https : //louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf（申し訳ありませんが、現時点では少し簡潔ですが、質問をためらわないでください）

もちろん、Ford-Felkursonを使用すると、拡張パスを希望どおりに選択できます...これがEdmond-Karpで可能かどうかはわかりません。