ランダムソートネットワークが機能する確率

$n$ 入力与えられると 2つの変数をで繰り返し選択し、場合にそれらを交換するコンパレータゲートを追加することにより $x_0, \ldots, x_{n-1}$ 、 $m$ ゲートでランダムソートネットワークを構築します。 $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

質問1：固定 $n$ 、ネットワークが確率正しくソートされるためには、 $m$ がどれだけ大きくなければならないか $> \frac{1}{2}$ ？

少なくとも下限 $m = \Omega(n^2 \log n)$ があります。これは、連続する各ペアがスワップされることを除いて正しくソートされた入力は、コンパレータとして選択される各ペアに対して $\Theta(n^2 \log n^2)$ 時間かかるためです。それは上限であり、おそらくより多くの $\log n$ 因子を持っていか？

質問2：コンパレータゲートの分布を達成することがあります $m = \tilde{O}(n)$ 、おそらく高い確率で近くのコンパレータを選択することにより？

sorting-network

— ジェフリーアーヴィング
ソース

一度に1つの入力を調べ、次にユニオンの境界を調べることで、

上限を取得できると思いますが、それはきついとは言えません。

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— ダニエル

質問2のアイデア：深さ

ソートネットワークを選択し

。各ステップで、ソートネットワークのゲートの1つをランダムに選択し、その比較を実行します。後

の工程、第一の層内の全てのゲートが適用されているであろう。別の後

の工程は、第2の層内の全てのゲートが適用されているであろう。あなたは、これが単調であることを示すことができる場合は、と解決策を得ています（ソーティングネットワークの途中で余分な比較を挿入傷つけることはできません）

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$ 平均で合計でコンパレータ。しかし、単相性が実際に成立するかどうかはわかりません。

— DW

@DW：単調性は必ずしも当てはまりません。考えてみましょうシーケンス

一連

作品。

はありません（入力（1、0、0）を考慮してください）。アイデアは、

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$ 、それは除いて受け取る任意の入力ソート

（参照ここに）。

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$ その入力が到達できない

。

それができます。

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

— ニールヤング

ネットワークが、各ステップでランダムに2つの隣接変数

選択することによって選択されるバリアントを考えます。単調性が保持されるようになりました（隣接するスワップは反転を作成しないため）。DWのアイディア@適用奇偶ソーティングネットワーク持って、

のラウンドを：奇数ラウンドでは、全ての隣接する対の比較

それがすべての隣接する対の比較でもラウンドで、奇数である

さえあるし。Whpランダムネットワークは

比較で正しいです。これはこのネットワークを「含む」ためです。（または何かが足りませんか？）

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— ニールヤング

隣接ネットワークの単調：考えると

ため、

を定義

。言う

であれば

（

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$ ). Fix any comparison "

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$ ". Let

a^{'}

$a'$ and

b^{'}

$b'$ come from

a

$a$ and

b

$b$ by doing that comparison. Claim 1. $a' \preceq a$ and $b' \preceq b$ . Claim 2: if $a\preceq b$ , then $a' \preceq b'$ . Then show inductively: if

y

$y$ is the result of comparison sequence

s

$s$ on input

x

$x$ 、および

スーパシーケンスの結果である

の

に

次に、

。したがって、

がソートされると、

もソートされます。

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

— ニールヤング

以下は、ビット2ソートに適用されたDWのアイデアに基づいた、質問2の経験的データです。変数について、比例する確率でを選択し、ランダムに一様にを選択してコンパレーターを取得します。これは、が2のべき乗の場合、ビットニックソートのコンパレータの分布に一致し、そうでない場合は近似します。 $n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

この分布から引き出されたゲートの与えられた無限シーケンスについて、多くのランダムなビットシーケンスをソートすることにより、ソートネットワークを取得するために必要なゲートの数を概算できます。ここのためにその推定だ平均引き継いとゲートシーケンス数のを概算するために使用されるビット・シーケンスは：一致するように見える、バイトニックソートと同様の複雑さが。その場合、各ゲートに出くわすクーポンコレクターの問題のために、余分なファクターを消費しません。 $n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

強調するために、ではなく、予想されるゲート数を概算するためにビットシーケンスのみを使用しています。平均必要なゲートは、その番号の上昇を行いますため、私が使用している場合は、、および系列を推計は、、、および。したがって、最後のいくつかのシーケンスを取得することは漸近的な複雑さを増加させる可能性がありますが、直感的にはありそうにないように感じます。 $6400$ $2^n$ $n = 199$ $6400$ $64000$ $640000$ $14270 \pm 1069$ $14353 \pm 1013$ $14539 \pm 965$

編集：これはまでの同様のプロットですが、正確なゲート数（サンプリングとZ3の組み合わせで計算）を使用しています。私は2つの電源から切り替えた任意に $n = 80$ $d = j-i$ 比例する確率 $d \in [1,\frac{n}{2}]$ 。依然としてもっともらしい。 $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$

— ジェフリーアーヴィング
ソース

いい実験だ！ただし、ここでクーポンコレクターの問題が発生する可能性のある別の方法があります。すべての入力の正確性を検証するために必要な

ビットシーケンスのごく一部のみをサンプリングしています。このタイプとサイズのランダムネットワークがランダム順列whpをソートすると、実験から（数学的に、もちろん数学的にではなく）結論付けることができるようです。また、このようなランダムネットワークで、あなたが進んで進んでいるすべての

について徹底的な

テストを行うのを楽しみにしています。（

はそれほど悪くないはずです。使用している言語とハードウェアに応じて、

あってもかまいません）。

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n = 20

$n=20$

n = 30

$n=30$

— ジョシュアグロチョウ

正確には

までは同じように見えますが、それを決定的なものとは見なしません。

n = 27

$n = 27$

— ジェフリーアーヴィング

@JoshuaGrochow：

までの正確な値を追加しました。

n = 80

$n = 80$

— ジェフリーアーヴィング

いいね！ただし、正確なデータへの広がりが拡大しているように見えますが、これはおそらく、

余分なファクターを持つ上限を示してい

。（つまり、「スプレッド」が

速度で成長している

）

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

— ジョシュアグロチョウ

ええ、余分な要因を排除することはできません。それがあった場合、私は驚かれると思い

しかし、我々が持っている80のアップ以来、

、一定のは疑いの近くにある

そう。この時点で、理論が引き継がなければならないと思います。:)

\log n

$\log n$

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$

1

$1$

— ジェフリーアーヴィング