どの2P1Rゲームがシャープになる可能性がありますか？

2証明者の1ラウンド（2P1R）ゲームは、近似の難易度に不可欠なツールです。具体的には、2証明者の1ラウンドゲームを並列に繰り返すことにより、近似問題の決定バージョンのギャップのサイズを大きくすることができます。主題の概要については、CCC 2010でのRan Razの調査講演を参照してください。

ゲームの並列反復には、ランダム化された検証者が独立して動作する間、2人のプレイヤーが独立してゲームをプレイできるという驚くべき特性があり、各ゲームを個別にプレイするよりも優れた成功を達成します。成功の量は、Razの並列反復定理によって上に制限されます。

定理：普遍定数が存在する$c$ため、値1 − ϵおよび回答サイズsの 2P1Rゲームごとに、並列反復ゲームG nの値は最大（1 − ϵ c ）Ω （n / s ）になります。$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

この定数を識別する作業の概要を次に示し$c$。

• ラズのオリジナルの論文は証明している$c \leq 32$。
• Holensteinは、これを改善$c \leq 3$。
• ラオがあることを示した$c' \leq 2$足りる（及び依存性$s$、投影ゲームの特別な場合のために除去されます）。
• Razは奇数サイクルゲームの戦略を提示し、Raoの結果がプロジェクションゲームでシャープであることを示しました。

仕事のこの身体によって、我々は知っている$2 \leq c\leq 3$。私の2つの質問は次のとおりです。

質問1：この分野の専門家は正確な値についてコンセンサスを持ってい$c$ますか？

であると考えられる場合$c > 2$、射影的ではないが、Raoの証明が必要とするプロジェクションゲームの追加のプロパティに特に違反する特定のゲームがあります。

質問2：場合、どの面白いゲームがラオの戦略に違反し、鋭い例になる可能性がありますか？$c > 2$

私自身の読書から、Raoが使用するプロジェクションゲームの最も重要な特性は、並列反復の優れた戦略では、特定の質問に対して可能な答えの多くを使用しないことです。これは何らかの形でプロジェクションゲームの場所に関連しています。

私はc = 3が一般的な場合の正しい答えであり、例を挙げることが可能であるべきだと信じがちです。確実に知るためには、それについてもっと考えなければなりません。それは良い質問であり、私はそれについての既存の仕事を知りません。

最近の研究では、どのタイプのゲームが（可能な限り）c = 1であるかに焦点を当てました。これは、主に、ユニークなゲームの増幅への応用の可能性があるためです。

• Barakらは、Razの反例をSDPギャップのあるすべてのユニークなゲームに一般化した。
• RazとRosenは、プロジェクションゲームを拡張するためにc = 1であることを示しました。また、無料ゲーム用のこれらの著者のスーパーセットによる以前の結果もあります。

物事を進めるために、私は潜在的なゲームを持っているので、フィードバックをお願いします。

$k \geq 2$$m$$3k+1$C k m k + $m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$と番号を着色順次の各セットので、このためには、の整数クリークを形成します。は倍数ではないため、この色付けが失敗するポイントがあります。$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

検証者は、両方のプレイヤーに単一の頂点を要求して色が一致することを確認するか、エッジを要求して色が異なることを確認します。

これは次の2つの理由から良い例だと思います。

1. Razの下限に似た戦略を構築できるのは、奇数サイクルゲームに十分に似ています。この戦略の重要な部分は、共有されたランダム性を使用して、繰り返しの中でランダムに色を選択することです。

2. ランダムに生成されたカラーリングで使用される順列をランダム化することにより、各頂点で与えられる回答の数が回答セット全体に均一に広がり、Raoの戦略を攻撃します。

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