DFAの移行モノイドメンバーシップ

完全なDFAを考えると $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$ 、我々は、関数の集合を定義することができます $f_a$ それぞれについて、 $a\in \Gamma$ として $f_a:Q\rightarrow Q$ 、 $f_a(q)=\delta(q, a)$ 。この概念を単語 $w=a_1, \cdots, a_m$ および一般化できます。機能組成物を意味します。さらに我々示すおよびモノイドです。 $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ $\circ$ $G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ $G$

[ $G$ は通常、標準の教科書では遷移モノイドと呼ばれていますが、ここでは明確にするために定義を再現しています。

質問は、関数与えられた私たちが決めることができ、（理想的に多項式時間で）、そしてこれが事実である場合（すなわち、そこに存在するように）かどうか、 IS多項式のみ、または指数関数的に長くなる可能性がありますか？ $f:Q\rightarrow Q$ $f\in G$ $w$ $f=f_w$ $w$

[確かにそのような単語は指数関数的に長くなる可能性があると思いますが、簡単な例を探しています。]

automata-theory regular-language monoid

— まおまお
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決定性

それは決定可能です。のみ有限多くの可能な機能がある使用すると、1つの機能ごとの頂点およびエッジと、グラフの到達可能性の問題としてこれをモデル化することができるように、が存在する場合、このような。次に、関数が内にあるかどうかをテストすると、がからグラフで到達可能かどうかをテストすることになります。横一回目を使って、そのような最短の単語を見つけることができます。の実行時間は指数関数的かもしれません $f:Q \to Q$ $g \to h$ $a \in \Gamma$ $h = f_a \circ g$ $g$ $G$ $g$ $f_\epsilon$ $Q$ けれども。

単語の長さ

そのような最短の単語は指数関数的に長くなる可能性があります。以下はそのようなDFAの例です。ましょう最初の素数を。その後、状態は次の形式になります及び。単項アルファベットでDFAを定義する $p_1,\dots,p_k$ $k$ $(i,x)$ $i \in \{1,\dots,k\}$ $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$ と遷移関数です。関数は、 $\Gamma=\{0\}$ $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$ $f_0 :Q \to Q$

f_{0} （ 私 、 バツ ） = （ 私 、 バツ + 1 モッド p_{私} ） 。

$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$

今すぐ関数を検討で与えられました $g:Q \to Q$

g （ 私 、 バツ ） = （ 私 、 バツ - 1 モッド p_{私} ） 。

$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$

中国の剰余定理を使用して、（であり、がそのような単語の中で最も短いことを示すことができます。さらに、なので、は指数関数的に大きくなります。 $g = f_{0^n}$ $n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$ $0^n$ $|Q|= p_1 + \dots + p_k$ $n$ $Q$

したがって、そのような単語を出力する多項式時間アルゴリズムには希望がありません。ただし、がかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムの可能性はまだ残っています。 $g$ $G$

— DW
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