オートマトンは有限コードを認識します

してみましょう、有限アルファベットなります。コード上のサブセットである内の各単語ように一意の単語の連結として表現することができる。場合、コードは有限です有限です。有限コードを認識する（最小の）オートマトンについて何が知られていますか？そのようなオートマトンの特徴付けはありますか（を知らずに、オートマトンの構造に関して）？そのようなオートマトンがあれば、コードを多項式時間で抽出することは可能ですか？ $\Sigma$ $X$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $X^*$ $X$ $X$ $|X|$ $X^*$ $X$ $X$ $X$

がコードであるという事実を省略した場合、つまり、が有限の単語のセットであると仮定した場合にも、これらの質問に興味があります。 $X$ $X$

automata-theory

— アンドリューリジコフ
ソース

そのようなオートマトンについて何が知りたいですか？サイズを簡単に特徴付けることができる DFAを構築するのは簡単なようです（これは、基本的にの文字列の一意のプレフィックスの数であり、最大での単語の長さの合計です。特に、多項式サイズです）。そのようなDFAが与えられた場合、開始ノードからそれ自体へのすべてのサイクルを列挙することにより、のコードワードを抽出することも簡単に思えます。具体的にはあなたの質問は何ですか？あなたはすでに何を考えていますか？ヘルプセンターの「質問は...に基づくべき」の部分をご覧ください。

X^{*}

$X^*$

X

$X$

X

$X$

X

$X$

— DW

@DW、明らかに、すべてのオートマトンがこのプロパティを持っているわけではありません。したがって、私はそのようなオートマトンの（うまくいけば、多項式の）特徴付けがあるかどうかを尋ねます。また、初期状態からそれ自体までのすべてのサイクルを列挙してを抽出する方法もわかりません。実際、自己交差のないサイクルだけに制限することはできないため、サイクルの数は無限にあります。もっと具体的に教えていただけますか？

X

$X$

— アンドリューリジコフ2017

私が正しく理解していれば、最小限のオートマトンについて質問しました。最小限のDFAはすべて、私が説明したものと同型になると思います。すべてのオートマトンについて質問しているが、必ずしも最小限ではない場合は、質問を編集して明確にすることをお勧めします。自己交差のないサイクルだけに制限できないのはなぜですか。接頭辞なしのプロパティは、そのようにしても安全であることを意味し、が有限の場合、そのようなサイクルは有限にしかありません。しばらく問題について考えてから、質問を編集して、これまでに思いついたすべての結果を共有することをお勧めします。

X

$X$

— DW

この質問は、最初のバージョンと同じではありませんcstheory.stackexchange.com/questions/4284/...、とあなたにも実行している時間を尋ねることを除いて、異なる可能性がありますか？

K

$K$

K^{'}

$K'$

— domotorp 2017

@domotorpその通り、単語のセットがコードであるかどうかのチェックは多項式時間で実行でき、それは非常によく知られた事実です（例www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/LivreCodes/を参照）Codes.html、サブセクション0.4）。私が欲しいのは、最小限のオートマトンだけが何かを認識するようにして、これがコードのスターかどうかを確認することです。

— アンドリューリジコフ2017

この質問には長い間回答がありませんでしたので、質問の最初の部分に対して部分的な回答をさせてください。

有限コードを認識する（最小の）オートマトンについて何が知られていますか？ $X^∗$ $X$

単語の有限集合が与えられる、花オートマトンの有限非決定性オートマトン、ここで、、、4種類の遷移： $X$ $X^*$ $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$ $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$ $I = F = \{(1,1)\}$

\begin{aligned} (u, a v) & \overset{a}{⟶} (u a, v) such that u a v \in X, (u, v) \neq (1, 1) \\ (u, a) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that u a \in X, u \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (a, v) such that a v \in X, v \neq 1 \\ (1, 1) & \overset{a}{⟶} (1, 1) such that a \in X} \end{aligned}

$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$ このオートマトンは、認識します。たとえば、および場合、フラワーオートマトンは次のようになります。

X^{*}

$X^*$

A = {a, b}

$A= \{a, b\}$

X = {a, b a, a a b, a b a}

$X = \{a, ba, aab, aba\}$

X^{*}

$X^*$

$\qquad\qquad\qquad$

2つの状態とと1つの単語与えられ、ラベルからへのパスが最大で1つある場合、オートマトンは明確であることを思い出してください。次に、次の結果が保持されます。 $p$ $q$ $w$ $p$ $q$ $w$

定理 [1、Thm 4.2.2]。セットは、フラワーオートマトンが明確な場合のコードです。 $X$ $X^*$

花オートマトンには代数的特性もあり、最小オートマトンに比較的近くなります。このプロパティは、任意の有限集合適用されますが、空の単語を取り除くことで、つまり、言語をではなくサブセットと見なすことで、より簡単に述べることができます。 $X$ $A^+$ $A^*$

すべてのべき等、場合、有限の半群は局所的に自明であることを思い出してください。射である局所自明すべての冪等のための場合はで、半群局所的に自明です。 $R$ $e \in R$ $eRe = \{e\}$ $\pi:R \to S$ $e$ $S$ $\pi^{-1}(e)$

移行半群の花オートマトンのと呼ばれる 花の半群の。以来、認識、全射射あるから構文半群の上にの。 $T$ $X^+$ $X^+$ $T$ $L^+$ $\pi$ $T$ $S$ $X^+$

定理。射は局所的に自明です。 $\pi:T \to S$

この結果の重要な結果は、花のセミグループと構文のセミグループが同じ数の通常のクラスを持っているということです。 $\mathcal{J}$

参考文献

[ 1 ] J.ベルステル、D。ペリン、C。ロイテナウアー、コードおよびオートマトン。数学百科事典とその応用、129。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2010年。xiv+ 619 pp。ISBN：978-0-521-88831-8

— J.-E. ピン
ソース