時間クラスの分離

私の学生は最近、次の質問をします：

と仮定しようなが存在する必要があり

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (g (n)) .

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n)).$

h(n) $h(n)$

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (h (n)) ⊊ D T I M E (g (n)) ?

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(h(n)) \subsetneq DTIME(g(n))?$

これはおそらく、が時間で構成可能な場合に構成することで真となる可能性があります。しかし、一般的に、これはと同様にfalseにすべきだと感じてい。 $h(n)$ $f,g$ $DSPACE(o(\log(\log(n)))) = DSPACE(1)$

cc.complexity-theory

— S.ペク
ソース

これは、正確なモデルに依存する場合があります。

定理はここで言及ボロディンのギャップが関連する可能性がある：cstheory.stackexchange.com/questions/8583/...

— マイケルWehar

を許可しています

f(n),g(n)=O(1) $f(n),g(n)=O(1)$ か？そのため、最初の場所を除いて、どこでもゼロである一部の関数にはいくつかの例が存在する必要があります。とにかく、

f≡g $f\equiv g$ 1

を除くすべての場所にある場合、この質問は意味がありません

n $n$ か？

— domotorp

申し訳ありませんが、定義により

の問題をまったく追跡できませんか？

f(n),g(n)=O(1) $f(n),g(n) = O(1)$

DTIME(f(n))=DTIME(g(n)) $DTIME(f(n))=DTIME(g(n))$

— S. PEK

申し訳ありませんが、私は質問を読み違え、以前のコメントはあまり意味がありませんでした。削除しました。ありがとうございました。

— マイケルウェハ

回答:

場合 $DTIME(f(n))$ すべての言語のクラスとして定義されているに決定可能 $O(f(n))$ 2本のテープチューリングマシンによって時間、その後、私は答えは何であることを疑うん。つまり、厳密に中間の時間複雑度クラスが常に存在するとは限らないと思います。

注：私は計算不可能な関数を検討しており、引数のすべての詳細を含めていないので、この答えはあなたが探しているものと正確に一致しないかもしれません。しかし、良いスタートだと感じました。ご質問はお気軽にどうぞ。いつかこれらの詳細をさらに入力することもできれば、興味のある読者からのより良い答えにつながるかもしれません。

という形式の関数を考えます。これらの関数を自然数関数と呼びます。 $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

主張1：私は、次のような非常にゆっくりと成長する非減少自然数（計算不可能な）関数を構築できると主張します。 $\varepsilon(n)$

（1）は減少しない $\varepsilon(n)$

（2） $\varepsilon(n) = \omega(1)$

（3）すべての無制限の計算可能な場合、セットは無限です。 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $\{ n \; \vert \; \varepsilon(n) \leq f(n) \}$

は、ゆっくりと成長する非減少ステップ関数として構築します。すべての無制限の計算可能な関数列挙しましょう。私たちは、構築したいすべてのためになるように、すべての、。つまり、列挙内の最初の関数が少なくとも1回は以上の値にマップされるまで、をにマップするのを待ちます。その後、は引き続きにマッピングされます $\varepsilon(n)$ $\{ f_i \}_{i \in \mathbb{N}}$ $\varepsilon(n)$ $i$ $j \leq i$ $min\{ k \; \vert \; \varepsilon(k) \geq i\} \geq min\{ k \; \vert \; f_{j}(k) \geq i \}$ $\varepsilon(n)$ $i$ $i$ $i$ $\varepsilon(n)$ $i$ 列挙内の最初の関数が少なくとも1回以上の値にマッピングされ、この時点でへのマッピングを開始するまで。を構築するためのこの反復プロセスを続けると、任意の特定の無制限の計算可能関数について、は常に小さくなるとは限りませんが、無限に少なくとも少なくとも同じくらいになることがよくあります。 $i+1$ $i+1$ $i+1$ $\varepsilon(n)$ $\varepsilon(n)$

注：クレーム1の背後にある直観を提供したばかりで、詳細な証拠は提供しませんでした。以下のディスカッションに参加してください。

ので、このような成長の遅い関数であり、我々は次のようにあります。 $\varepsilon(n)$

クレーム2：および場合、すべての計算可能な自然数関数およびについて、次に。 $f(n)$ $h(n)$ $h(n) = \Omega(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)})$ $h(n) = O(f(n))$ $h(n) = \Theta(f(n))$

クレーム2の場合、と間に計算可能な関数があり、、よりもゆっくりと成長する無制限の自然数関数を計算できますが、これは不可能です。 $h(n)$ $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}$ $f(n)$ $h(n) \neq \Theta(f(n))$ $\varepsilon(n)$

関連する詳細をいくつか説明します。矛盾のために、そのような関数存在すると仮定します。次に、は無制限です。 $h(n)$ $\lfloor \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor$

注：とは計算可能であるため、前述の関数は計算可能です。 $f(n)$ $h(n)$

以来、、我々は。したがって、すべての十分な大きさのような定数があります。この関数は無制限で計算可能であるため、クレーム1を適用して無限に頻繁に取得します。これは前のステートメントと矛盾します。 $h(n) = \Omega(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)})$ $\lfloor \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor = O(\varepsilon(n))$ $\alpha$ $n$ $\lfloor \alpha \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor < \varepsilon(n)$ $\varepsilon(n) \leq \lfloor \alpha \frac{f(n)}{h(n)} \rfloor$

クレーム3：時間構築可能な関数に対して、そのがありますが、は存在しませんようにと。 $f(n)$ $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(f(n))$ $h(n)$ $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)} \leq h(n) \leq f(n)$ $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(h(n)) \subsetneq DTIME(f(n))$

単にそれを示すために、より強力な時間階層定理を使用する必要があります。テープの数は固定されていると仮定します（上記の2本のテープについて説明しました）。Martin Furerによる「厳密な決定論的時間階層」を参照してください。 $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) \subsetneq DTIME(f(n))$

との間には以外の計算可能な自然数関数がないため、すべての関数ようにと、。 $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}$ $f(n)$ $\Theta(f(n))$ $h(n)$ $\frac{f(n)}{\varepsilon(n)} \leq h(n) \leq f(n)$ $h(n) \neq \Theta(f(n))$ $DTIME(\frac{f(n)}{\varepsilon(n)}) = DTIME(h(n))$

— マイケル・ウェハール
ソース

はい、これはまさに私が念頭に置いていたものですが、途中でどこかで混乱しました。私はちょうどことを、ノートにしたい、すべての小さなである必要はありません。同様の引数は、下側の関数を常にまたは関数で置き換え、上側の関数は、常にまたはいずれかの関数に置き換えることができます。

ϵ(n) $\epsilon(n)$

$\frac{f(n)}{\epsilon(n)}$

$f(n)$

$0$

$f(n)\epsilon(n)$

$f(n)$

$\infty$

— domotorp

（3）制限のない関数に制限する必要があります。

$\hspace{.04 in}f$

@RickyDemerはい、あなたは正しいです！ご理解いただきありがとうございます。回答を編集して、無制限の単語を追加しました。:)

— マイケル・ウェーハー

イムは全く考えてみましょう。1.クレームについては納得していないもし、そう。この列挙を考慮すると、ですか？

$f_i(n) = 1$

$n \leq i$

$n-i$

$\epsilon(n) = \Theta(1)$

— S. PEK

この証明にはさらに2つの懸念があります。1）請求項2、に等しい計算可能なが存在できないという事実から矛盾が生じると述べました。ようなが存在すると言うべきであるため、これは誤植であると信じています。ただし、は計算可能である必要はないため、引数を保持する必要はありません。2）請求項3でFurerの結果を使用しました。ただし、結果は時間構築可能な関数についてのみ保持されますが、は時間構築可能である必要はありません。

$\epsilon(n)$

$|h(n)-f(n)|$

$k'$

$\epsilon(n) = |h(n) - k'\cdot f(n)|$

$k'$

$\frac{f(n)}{\epsilon(n)}$

— S. PEK

この結果が真の場合、最もよく知られている決定性の時間階層定理が強化されます。[これは回答というよりはコメントですが、コメントするには長すぎます。現在の最良の確定的時間階層定理は、が時間構成可能で、、次に。 $f(n), g(n)$ $g(n) \leq o( f(n) / \log f(n) )$ $\mathsf{DTIME}(g(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(f(n))$

目的の結果がtrueであり、がに近いが、それでも少し時間を構成できる関数であるとし。たとえば、。（この任意の時間、構成可能時間、構成可能ではないかもしれないが、確かに多くの時間構成可能のためにこのも時間構成可能である。）ここで、ご希望の結果を生成するよう。現在の最適な時間階層定理の改善を避けるために、両方が必要です。 $g(n)$ $f(n) / \log(f(n))$ $g(n) = f(n) / (\log f(n))^{3/2}$ $g$ $f$ $f$ $g$ $h$ $\mathsf{DTIME}(g(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(h(n)) \subsetneq \mathsf{DTIME}(f(n))$ $g(n) = o( h(n) / \log(h(n)) )$ および。これら2つを合わせると、。、、または同等の。ただし、、これはではありません。 $h(n) = o(f(n) / \log(f(n))$ $g(n) \leq o( f(n) / (\log(f(n)) \log(h(n)))$ $h(n) \geq g(n)$ $g(n) \leq o( \frac{f(n)}{\log(f(n)) \log(g(n))})$ $g(n) \log g(n) \leq o(f(n) / \log(f(n)))$ $g(n) \log(g(n)) = f(n) / (\log(f(n))^{3/2} [\log(f(n)) - (3/2) \log \log(f(n)] \sim f(n) / \sqrt{\log(f(n))}$ $o(f(n) / \log(f(n))$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

涼しい！また、テープの数が固定されている場合、より良い時間階層定理があることに注意してください。Martin Furerによる「厳密な決定論的時間階層」を参照してください。

— マイケル・ウェハ

@MichaelWehar：ポインターをありがとう！実際、のみを必要とするほどタイトになると、テープの数が固定されたときにFurerが示すように、私の議論はなくなります。（そして、基本的には同じ理由で、私の議論は、この質問ではなく、時間の宇宙の階層構造についてだったら消える：スペースのために、我々は＃テープが固定されていない場合でも、完全にタイトな階層定理を持っています。）

$g(n) = o(f(n))$

— ジョシュアGrochow

このような動作は、1-Tape-DTMに当てはまると思います。一方では、ます。残念ながら、私が知っている唯一の参考文献はドイツ語です：R. Reischuk、Einführungin dieKomplexitätstheorie、Teubner、1990、Theorem 3.1.8。 $\mathrm{DTIME}_1(O(n)) = \mathrm{DTIME}_1(o(n \log n))$

一方、とは言語標準交差シーケンス引数を使用。 $\mathrm{DTIME}_1(O(n))$ $\mathrm{DTIME}_1(O(n \log n))$ $\{ x \#^{2^{|x|}} x \mid x \in \{0,1\}^* \}$

— マルクス・ブレザー
ソース