チューリングマシンの「カテゴリ」？

免責事項：私は複雑性理論についてほとんど知りません。

すみませんが、簡潔に（ひどく）せずにこの質問をする方法はありません。

チューリングマシンの「the」カテゴリの射影はどうあるべきですか？

これは明らかに主観的であり、理論の解釈に依存するため、この質問への回答は、理想的には、いくつかの証拠と同様に回答を裏付ける推論を与えるべきです。

たとえば、正式な言語ではなく、チューリングマシンのカテゴリを探しているという点を強調したいと思います。特に、私のモーフィズムには、リダクションやそのようなものよりも細かい情報が含まれているはずだと思います（ただし、わかりません）。

もちろん、すでによく知られている使用済みのカテゴリが文献にある場合は、それが何であるかを知りたいです。

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— ザール・ハルダリ
ソース

あなたはそれを自分で言った-計算可能な機能。

— ユヴァルフィルマス

@Raphaelは、カテゴリに入れるまで構造を実際に定義しないということです。そのとき、特定の定義の本質的でない特徴が取り除かれます。

— サールハルダリ

@SaalHardaliすべての人がカテゴリー理論家によってなされた救いの約束に加入しているわけではないことに留意してください。実際、多くの人が目を転がします。

— ラファエル

射標識あり@JoshuaGrochowからと場合減少にである（周囲またはおそらく他の方法）、。これは、たとえば、すべての入力で停止するかしないかのいずれかであるが、それ以上の出力はないマシンの場合です。

f

$f$

T_{1}

$T_1$

T_{2}

$T_2$

f

$f$

T_{2}

$T_2$

T_{1}

$T_1$

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$

— ユヴァルフィルマス

余談：なぜTMはオブジェクトである必要があるのですか？それらは射である可能性もあります。

— マーティンバーガー

回答:

Saal Hardaliは、Turingマシンのカテゴリでジオメトリ（または少なくともホモトピー理論）を実行したいと述べました。ただし、同様の目的を達成するためのさまざまな方法があります。

計算可能性とトポロジーの間には非常に強い類似性があります。終了は有限に観測可能である（つまり開いている）ため、終了/非終了はシェルピンスキー空間に似ているという直観です。Martin Escardoの講義ノートを参照してください。これらのアイデアの適度に穏やかで包括的な導入については、データ型と古典空間の合成トポロジを参照してください。
同時計算および分散計算では、プログラムの実行可能性をスペースと考えると便利な場合が多く、その後、さまざまな同期制約をスペースの同所性として表現できます。（実行に時間順序があるという事実は、通常のホモトピー理論ではなく、指向性ホモトピー理論を必要とするようです。）

詳細については、Eric Goubaultの記事「並行性理論に関するいくつかの幾何学的観点」を参照してください。Maurice HerlihyとNir ShavitのGoedel-prize受賞論文、The Topological Structure of Asynchronous Computabilityも参照してください。これは、分散プログラミングの理論における長年の未解決の問題を解決しました。
3番目のアイデアは、ホモトピー型理論、つまり、マーチン-ロフ型理論が（可能性として）オメガグループイドの理論（つまり、抽象のモデル）ホモトピー理論。これらのアイデアへの最良の紹介はホモトピー型理論本です。

これらのアイデアはすべて非常に異なっていますが、それでも幾何学的な直感を使用していることに注意してください！さらに、幾何学的複雑性理論で使用される用途や、回路の理論をグラフの（コ）ホモロジー理論の観点から説明する方法など、私にはわからないものもあります。

基本的に、CSを実行しているとき、ジオメトリはツールです。これを使用して直感を定式化し、その上で行われた膨大な作業を通じて活用できるようにします。しかし、それはアイデアアンプであり、アイデアを持つ代わりではありません！

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

オブジェクトがチューリングマシンの場合、射にはいくつかの合理的な可能性があります。例えば：

1）チューリングマシンをオートマトンと見なし、テープヘッドの動きを保持するか、まったく逆のオートマタの通常の形態（アルファベットと相互に一致する状態の間のマップ）を考慮するそれらは（例えば、ソースTMが左に行くときはいつでも、ターゲットTMは右に行く、そしてその逆）。

2a）シミュレーションまたはバイシミュレーションを検討します。

2b）同様の線に沿って、1つのTMを（計算可能な関数によって）変換して他のTMをシミュレートできる時期を検討できます。これは、段階的な動作のレベルで、またはコメントでYuvalが示唆したように、入出力のレベルで行うことができます。つまり、からへの射（またはその逆）は計算可能なその結果全てのために。 $T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3）チューリングマシンの遷移グラフ（各頂点は、マシンとテープの状態の完全な記述であり、TMが行う遷移に対応する有向エッジを持つ）を検討し、グラフの射を検討します。しかし、TMの場合、これは非常に大まかな関係です。これは、計算のローカルな性質を本質的に無視するためです（たとえば、テープの内容を無視します）。

それは何であるあなたがしたい：私は、本当の問題だと思う知っているのTMについてまたはしません彼らと？これがない場合、自然性を超えて（カテゴリーの意味ではなく、通常の言葉の意味で）ある定義に対して別の定義を議論することは困難です。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

私はこの種の数学に非常に新しいです。私は過去に複雑性理論について読んだことがありますが、インターネット上で誰かがコホモロジー手法が次の世紀に複雑性理論に入ると主張し、興味を持ち始めた後、最近それを取り上げました。少し読んだ後、チューリングマシンの定義に関する表面的な理解を超えて、それが正確にエンコードするものが基本的にわからないことに気付きました。それが私が質問にたどり着いた方法です。ですから、非常に初歩的なレベルで、コホモロジーがどのように複雑性理論に入ることができるかを想像しようとしています。

— サールハルダリ

このトピックについてほとんど理解していない私のような人にとっては、これが非常に時期尚早であることに気づきました。あなたの答えは素晴らしく、私は確かにそれの側面をもっと読むことを目指しています。ありがとうございました。

— ザールハルダリ

@SaalHardali：コホモロジーが複雑性理論に入るということをどこで読んだらいいですか？私は2つの方法を考えることができますが、ホモトピー型理論によるルートはまだ見ていません（おそらくHoTTをまだ十分に理解していないためでしょう）。私が見ることができる2つの方法：（1）分散コンピューティングでは、これはすでに起こりました。HerlihyとRajsbaum、および（2）幾何学的複雑性理論による。

— ジョシュアグロチョフ

ホモトピー理論により、HoTTではなく同程度の弱いカテゴリーを研究するという一般的な考えに向かっていました。私はP =？NPについての世論調査でそれを読みましたが、見つけるのは難しくありません。このサイトの質問の1つからリンクされていると思います。私は（部外者として）最初の推測は、おそらく複雑なクラスに対応する計算モデルのカテゴリに何らかの興味深い弱同値があり、それらの弱い同値の下で不変のファンクタを研究すると、私が「ホモトピー理論」これはおそらく非常に素朴で完全なミスです。

— ザールハルダリ

場合、あなたの興味は、複雑性理論ではなく、計算可能性理論で、多分この答えはあなたに役立ちます。cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Sashoニコロフ

Robin CockettとPieter Hofstraのチューリングカテゴリに興味があるかもしれません。カテゴリー理論の観点からは、「チューリング機械のカテゴリーとは何か」という質問は、「計算の基礎となるカテゴリー構造とは何か」ほど面白くない。したがって、RobinとPieterは、計算可能性理論の開発に適した一般的なカテゴリを識別します。次に、チューリングマシンから始まるこのようなカテゴリを定義するいくつかの可能性があります。カテゴリ全体を所有できるのに、なぜ1つのカテゴリがあるのですか？

— アンドレイ・バウアー
ソース