（方法）チューリング計算モデルがなくてもNP問題を発見/分析できますか？

純粋に抽象的な数学/計算推論の観点から、（どのように）3-SAT、サブセットサム、巡回セールスマンなどの問題を発見または推論できますか？何か意味のある方法でそれらについて推論することさえできますか？機能的な観点でしょうか？それも可能でしょうか？

私は、ラムダ計算の計算モデルを学習する一環として、この質問を純粋に自己探求の観点から熟考してきました。私はそれが「直感的ではない」ことを理解しており、それがゲーデルがチューリングモデルを支持した理由です。ただし、この機能スタイルの計算の既知の理論的制限は何か、NPクラスの問題を分析するのにどれほどの障害があるかを知りたいだけです。

関数型言語のコストセマンティクスをご覧ください。これらは、あらゆる種類のチューリングマシン、RAMマシンなどを通過しない関数型言語のさまざまな計算の複雑さの尺度です。このLambda the Ultimate投稿です。

ボブハーパーのプログラミング言語の実践的基礎のセクション7.4では、コストのセマンティクスについて説明しています。

AccattoliとCoenによる火の玉の相対的有用性に関する論文は、$\lambda$ -calculusがRAMマシンモデルに関してせいぜい線形の爆発を持っていることを示しています。

要約すると、この他の惑星ではNPに関してはほとんど同じことが起こりますが、バッファオーバーフローはより少なくなり、ゴミはそれほど多くありません。

AndrejとPhDの要請により、私は自分のコメントを回答に変え、自己広告をおologiesびします。

最近、チューリングマシンの代わりに関数型言語（λ計算の変形）を使用して、クックレビンの定理（SATのN P-完全性）を証明する方法を検討した論文を書きました。まとめ：$\mathsf{NP}$

• 重要な概念は、アフィン近似、つまり、任意のプログラムをアフィンプログラムで近似することです（アフィン近似は、入力を1回しか使用できません）。直感は、 アフィンので、 $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ $\lambda$ -termsおおよその任意の計算がうまくちょうどブール回路のように任意。
• 結果は、$\lambda$計算の世界では、証明ははるかに「高レベル」であり、ブール回路をハッキングする代わりに順序理論、スコット連続性などを使用します。特に、「計算はローカル」というスローガン（クック-レビンの定理の根底にあるメッセージとして多くの人から与えられています）は、予想どおり「計算は連続的」になります。
• ただし、「自然な」$\mathsf{NP}$完全問題はCIRCUIT SATではなく、HO CIRCUIT SAT、線形λ項またはより正確には線形論理証明ネット（高次ブール回路のような）の一種の「可解性」です。 ;
• もちろん、HO CIRCUIT SATをCIRCUIT SATに還元して、通常のクックレビンの定理を証明することができます。

「惑星のこちら側に」変わってしまうので、唯一のことは、私たちが「原始」であるためには、代わりにブール・回路関連の問題のため、λ計算関連の問題と考えているだろうことを、おそらく、ある -完全な問題。$\mathsf{NP}$

サイドノート：上記の証明はAccattoliのの変種で再公式化することができよりも、おそらく多くの標準であるアンドレイの答えに言及したリニア明示的な置換を有する-calculus λ私の論文で-calculus Iの使用。$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$

$\lambda$

$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

最後になりましたが、HO CIRCUIT SATがCIRCUIT SATに還元される可能性があることを示した場合、上記の私の作品でさえ、明示的に表示しないことに注意してください$\lambda$$\lambda$

この現象は、論理と計算可能性理論に広まっています。複雑性理論はそれを継承しているだけです。計算の公式システムとモデルは、直観を公式化できることを知るためだけによく使用されます。その後、ほとんどの場合、直感だけで十分です（慎重に使用する限り）。したがって、SAT、TAUT、SUBSUM SUM、GIなどの問題を解決することの難しさを推論し、したがっての理論を開発する$\mathsf{NP}$$\lambda$、あなたの直感が健全であることを知っていても、それは本当に重要ではありません。チューリングマシンは即座に実行可能な回答を提供しましたが、人々はさらに先へ進む必要性を感じていませんでした（まだ感じていません）。