行列問題の複雑さ

最近、私の研究で次の問題が現れました。アルゴリズムに関する質問の専門家ではないので、軽減する適切な問題の検索で広範囲にGoogleを使用しました。3SATがどのように機能するかはわかりませんが、ZOEの精神は似ていますが、削減は明らかではありません。別の可能性は、実在の実存理論です。どちらかというと一致しているようにも見えませんが、私はそれについて間違っているかもしれません。

問題：とは両方とも、お気に入りのフィールド上の行列です。のインデックスの任意のセットが0に設定されていると仮定します。同様に、のインデックスの任意のセットが0に設定されます。質問：ようにと残りのインデックスを埋めることができますか？ $A$ $B$ $n\times n$ $A$ $B$ $A$ $B$ $AB = I_n$

例：、。ありえない。 $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

これの計算の複雑さは何ですか（）？ $n$

文献で同様の結果を探すためのヒントやアイデアは大歓迎です。

編集（この投稿を完全に忘れました）：arXivで利用可能な最近の作品（プレプリントに興味がある人がいれば教えてください）で、問題は有限フィールド上でNP困難であることを示しました。

cc.complexity-theory

— MB
ソース

ベースフィールドが十分に大きい場合、可逆にできるかどうかを確認する問題は、多項式の同一性テスト（の補完）になります。の行列式が欠損エントリの値の多項式であることに注意してください。

A B

$AB$

A B

$AB$

— アンドリューモーガン

また、とエントリをゼロから1に制限し、フィールドの特性がよりも大きい場合は、2部完全マッチングになります。あなたは、各インデックスのために狩りを想像することができ別のインデックス設定したように、し、残りのエントリはゼロ。（これより多くのものを置くと傷つくだけです。）条件は、左側にインデックス、右側に選択肢、および

ペアのエッジを持つ2部グラフとして表現できます。設定できる

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

および

。

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— アンドリューモーガン

@MB：また、

を反転可能にするかどうかを確認することは、

と

両方を個別に反転可能にするかどうかを確認することと同じですが、

反転可能にするかどうかを確認することは、

をアイデンティティにすることができます。

（または

）を反転可能にするかどうかを確認するには、「効果的に実行できる」と言いますが、これは、

（または

サポート間で完全に一致することを確認することと同じです。

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ）（同じ問題ですが、Andrew Morganの2番目のコメントとは設定が少し異なります）。

— ジョシュアグロチョフ16年

線形相補性問題のように、この問題の特殊なケースはPPADにありそうです：kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob‌ lemこれは、解決策を見つけることが難しいことを示しています。

— -domotorp

他の人がこれをまだ理解していない場合

の

（任意のフィールド）の選択がありますが、完全なマッチングテストは失敗します。すなわち、そこには順列行列ではない

ように

の支持体上に支持されている

、および

の支持体上に支持されている

。選択は、

および

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

。

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— アンドリューモーガン

さて、ここに上の不可解な上限があります：またはリーマン仮説仮定しています。これは、ゼロの任意のパターンについてすることができるかどうかを確認すると、整数多項式の特定のシステムがで解を持っているかどうかを確認し、境界、コイランによる。 $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

別のアプローチは、これが実際に双線形方程式のシステムであるという事実を活用しようとすることです。双線形方程式を解くことは、線形方程式の「ランク1」解を見つけることと同等です。一般に双線形システムを解くためのより良い上限があるかどうかを判断しようとしてきましたが、これまでのところ運はありません。これらの双線形方程式の特定の構造を活用して、一般に知られているものよりも優れたものを取得することも可能です...

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

PSPACEは、NPに存在する問題から派生していませんか？

— MB

@MB：有限体では問題は明らかにNPにあり（変数の設定を表示するだけです）、AMよりも優れた上限です。入力が整数多項式であるが、複素数での解を求めている場合、解がある場合は、多項式限界はもちろんのこと、有限の量のメモリに書き込めることは明らかではありません。

— ジョシュアグロチョフ