制約充足約束問題の複雑さ

（これはの「上端」で10ヶ月以上前からの私の質問 cs.stackexchange上を。
その質問と私は尋ねた「下端」以上の8ヶ月前にここで、
私も上の恵みを持って、両方の応答がない。
これらは、あるスクリーンショット。それは正しくレンダリングていない場合には）この記事は、どのように見えるかの

動機セクションの先頭には：

私はかどうか--ない不思議開始シェーファーの二分法の定理は
に拡張することができる約束その一環として-constraints、私が探した
最も単純な答えは簡単ではありませんそのため約束-制約：

シェーファーの定理がすでに適用されていることを回避するには、約束が失敗する入力タプルが少なくとも1つ必要です。その定理と同じ理由で、all-trueおよびall-falseはNOを与える必要があり、YESを与える複数の入力が存在する必要があります。特に、可能な入力は4つを超える必要があるため、promise-constraintは少なくとも3つの変数を超える必要があります。単純なものを取得するには、それがちょうど3つの変数を超えており、対称的であると仮定します。入力のどれが真であり、どれが真ではないか。その場合、2-trueはYESを与え、1-trueは失敗し、1-trueはYESを与え、2-trueは失敗します。各変数を反転するだけで、それらは同等に困難です。したがって、短い正式なステートメントと「より良い」名前を提供するために、後者を使用します。

動機セクションの終わり

私の質問

レッツ「正1.2イン3-SAT」ことを約束問題の

入力がの構文持っている3-SATを否定することなく、
場合必見出力YES：入力された1-で-3充足
場合必見出力NO ：入力はNAE充足可能ではありません 。その問題の複雑さは何ですか？ 1つのpromise-constraintで変数が2回発生するかどうかを選択できます。

（1つのpromise-constraintで3回発生する変数は、
自動的に必須出力NOインスタンスになります。）

明らかに、恒等関数は約束問題から正の1-in-3-SAT
と正のNAE-SATへの縮小であるため、GC（O（m）、coNLOGTIME）は約束の問題を解決できます。
ただし、
肯定的な1.2-in-3-SATの「単純な」NP硬さの証明を組み合わせて妨害することにつながる一見重要な観察が

あります。少なくとも1つのpromise-constraintを複数回満たす変数のセットの場合、
これらの変数がすべて真である1対3の満足のいく割り当てはありません。
逆に、各promise-constraintを最大で1回満たす変数のセットの場合、
1-in-3-satisting割り当て、可能であればそれを変更して、そのセット内のすべての変数をtrueにすると、NAEを満たす割り当てが得られます。特に、2つの1で3を満たす課題の分離
は、常にNAEを満たす課題です。その結果について詳しく説明するには、
前提と正1.2-で-3-SATは持っているガジェットをするような、道具約束制約Cという
ガジェットは、すなわち、「お互いと同じようにCの変数を表し、解釈します」

$forward$
^{$\hspace{.02 in}$}

$forward$

$backward$ ^{$\hspace{.02 in}$}
$backward$

。その場合、Cの変数xとyのそれぞれについて、Cが（x、y）=（a、b）の
ようなYES入力と（x、y）=（b、 a）次に、x = yのような入力がありますが、NOは与えられません。
特に、そのようなガジェットはpromise-coloringを実装することさえできません。

また、1-in-3-satisfying割り当ての補完は常にNAE-satisfying割り当てであり、ポジティブ1.2-in-3-SATが持つガジェットの種類に対してより弱い制限を課します。

$m$ $\hspace{-0.03 in}\big(\hspace{-0.04 in}$ 2 ^o（m） $\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ $m$

np-hardness csp promise-problems

— コミュニティ
ソース

3-CNFでブール式Fが与えられ、どのリテラルも否定されないとします。わかりました... YES = 1-in-3-SATおよびNO = NAE-SATにしたいので、常に解決策があることを約束します。ただし、Fが1-in-3-SATとNAE-SATの両方になることもあります。たとえば、厳密に1つのリテラルが満たされるため1-in-3-SATであるという満足のいく真理の割り当てを持つことができますが、すべての句のリテラルがすべてTrueまたはいいえ。

— Tayfun Pay 2017

YES = 3 SATに1、NO = 3 SATに2はどうですか。？:-)

— Tayfun Pay

それはだという意味、「これはまた、NAE-SATにそれを置く」いないいない私は、私が書いたものに問題が表示されていないので、NAE充足。

はい。〜NAE-SATが必要なことを確認しました...したがって、各句のすべてのリテラルをすべてTrueまたはすべてFalseにする必要があります。正しい？

— Tayfun Pay 2017

すべての真の部分は、否定がない限り実行できません...そして、同じ変数内で反対の極性を持つ同じ変数を2回。

— Tayfun Pay 2017

Shaeferの二分法の定理（より一般的には、Felator-Vardiの推測は最近BulatovとZhukによって証明された）が問題を約束するために一般化できるかどうかという問題に関して：約束のCSPの複雑さは現在ホットな研究トピックです。ブール型PCSPでさえ、そのような二分法が存在する場合、それはまだ非常にオープンです。ただし、部分的な結果は知られており、特にBrakensiekとGuruswami [1]は、変数の否定を可能にする対称ブールPCSPの二分法を証明しています。

$x_1-x_2+x_3-\dots-x_{L-1}+x_L$

アルゴリズム1：

$C$ $3$ $\overline{x_i}$ $1-x_i$ $L_C$

u + v + w = 1

$u+v+w=1$

{u, v, w} \in C

$\{u,v,w\}\in C$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\dots,x_n)$

L_{C}

$L_C$

$C$

x_{i}^{'} = {\begin{cases} 1 & x_{i} \geq 1, \\ 0 & x_{i} \leq 0 \end{cases}

$x'_i=\begin{cases}1&x_i\ge1,\\0&x_i\le0\end{cases}$

C

$C$

（どちらの主張も簡単に確認できます。）

アルゴリズム2：

$P_C$ $L_C$

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i\le1$

x_{i}

$x_i$

$i$ $P_C\cup\{x_i=0\}$ $P_C\cup\{x_i=1\}$ $C$

$C$

$3$ $C$ $C$

参照：

[1] Joshua BrakensiekとVenkatesan Guruswami、約束の制約充足：代数的構造と対称ブール二分法、arXiv：1704.01937 [cs.CC]。

— エミール・イェジャベク
ソース